Ich berechne mal die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse
Ein Kartenstapel bestehend aus 52 = 4*13 Karten in den Spielfarben Karo, Herz, Pik und Kreuz und den Werten 2, 3, 4, ... ‚ 9, 10, B, D‚K‚ A sei perfekt gemischt, d.h. wir nehmen an, dass jede Reihenfolge der 52 Karten gleich wahrscheinlich ist.
a) Wir betrachten die folgenden Ereignisse:
A1: die oberste Karte hat die Spielfarbe Karo.
P(A1) = 13/52 = 1/4 = 0.25 == 25%
A2: die unterste Karte hat die Spielfarbe Pik.
P(A2) = 13/52 = 1/4 = 0.25
A3: die unterste Karte ist eine 10.
P(A3) = 4/52 = 1/13
A4: die obersten zwei Karten haben die gleiche Spielfarbe.
P(A4) = (52*12) / (52* 51) = 12/51
Bestimmen Sie alle Wahrscheinlichkeiten Pr(Ai ∩ Aj) für alle Konstellationen 1 ≤ i < j ≤ 4 und stellen Sie damit fest, welche der Ereignispaare unabhängig sind.
Nun einige Schnittereignisse
Es gilt 4 mal, d.h. immer wenn i=j: P(Ai n Ai) = P(Ai) und nicht (P(Ai))^2 Ai ist sicher nicht unabhängig von Ai. Ist auch nicht gefragt, da i<j vorausgesetzt wird.
P(A1 n A2) = 13/52 * 13/51
'oben 13 günstige und 52 mögliche' und dann 'Unten 13 günstige und 51 mögliche Ausfälle'.
P(A1 n A2) ≠ 13/ 52 * 13/52 daher: A1 und A2 sind nicht unabhängig
Wenn du soweit draus kommst, kommst du bestimmt selber weiter.
P(A1 n A4) = P(1. und 2. Karte Karo) = 13*12 / (52*51)
P(A1)*P(A4) = 13/52 * 12/51. Dasselbe wie eben. Daher: A1 und A4 sind unabhängig.
P(A2 n A3) = P( zuunterst Pik 10) = 1/52
P(A2)*P(A3) = 13/52 * 1/13 = 1/52. Daher: A2 und A3 sind unabhängig.
P(A1 n A3) = P (zuoberst Karo und zuunterst 10)
= P(zuoberst Karo 10 und zuunterst andere 10) + P(zuoberst Karo nicht 10 und zuunterst irgendeine 10)
= 1*3/(52*51) + 12*4/(52*51) = 51/52*51 = 1/52
P(A1) * P(A3) = 13/52 * 1/13 = 1/52. Daher: A1 und A3 unabhängig.
P(A2 n A4) = P( unterste Pik und oberste 2 gleiche Spielfarbe)
= P(unterste und oberste 2 Pik) + P(unterste Pik und oberste 2 gleich aber nicht Pik)
= (13*12*11)/(52*51*50) + (13*39*12)/(52*51*50)
= (1716 + 6084) /(52*51*50) = 7800/ (52*51*50)
P(A2) * P(A4) = 13/52 * 12/51 = 13*12*50 / (52*51*50) = 7800/ (52*51*50) Dasselbe.
Daher: A2 und A4 sind unabhängig.
P(A3 n A4) = P( zuoberst 2 gleiche Spielfarben und zuunterst eine 10)
P(zuoberst 2 gleiche Spielfarben ohne 10 und zuunterst beliebige 10)
+P(zuoberst 2 gleiche Spielfarben wobei die obere davon die 10 ist und zuunterst eine andere 10)
+P(zuoberst 2 gleiche Spielfarben wobei die untere davon die 10 ist und zuunterst eine andere 10)
= 48*11*4/ (52*51*50) + 4*12*3/(52*51*50) + 48*1*3 /(52*51*50) = 2400 /(52*51*50)
P(A3) * P(A4) = 4/52 *12/51 * 50/50 = 2400/(52*51*50). Dasselbe.
Daher: A3 und A4 sind unabhängig.
Rechne das Ganze noch sorgfältig nach. Du darfst natürlich zwischendrinn auch mal gekürzte Resultate angeben.
