Zeigen Sie, dass die Folge (Ln)

Question

Aufgabe:

Sei P0 ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge 1 in der Ebene. Auf jeder der 3 Seiten
errichte uber dem mittleren Drittel der Seite ein nach außen zeigendes gleichseitiges ¨
Dreieck, danach lösche die mittleren Drittel. Das so erhaltene Polygon P1 hat also 12
Seiten der Seitenlänge 1
3
. Wende dieses Konstruktionsverfahren induktiv an, um Polygone
P2, P3, . . . zu erhalten. (Pn+1 entsteht also aus Pn, indem man fur jede Seite von ¨ Pn uber ¨
dem mittleren Drittel der Seite ein nach außen zeigendes gleichseitiges Dreieck errichtet
und dann die mittleren Drittel entfernt.) Sei Ln die Gesamtlänge des Polygons Pn und
An der Flächeninhalt, der von Pn umschlossen wird. Zeigen Sie, dass die Folge (Ln)
divergiert, während die Folge (An) konvergiert. Bestimmen Sie lim An. Die Kurve, die
sich als Grenzkurve der Pn ergibt, hat also unendliche Länge, umschließt aber eine endliche
Fläche! Diese Grenzkurve ist ein Beispiel eines sog. Fraktals

Problem/Ansatz:

mal abgesehen davon, dass ich nicht zu 100% sicher bin, ob ich das verstehe, was ist daran die Aufgabenstellung überhaupt?

Answer 1

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Folge (Ln) divergiert, während die Folge (An) konvergiert.
Bestimmen Sie lim An.

Answer 2

Hallo

Du sollst eine Formel für  a) die Länge . b) die Fläche des entstehenden n ten Polygons bestimmen , wobei L1=3, L2=12*1/3=4 L3 =? Ln=?

und A1=1/4√3*1^2 , A2=A1+ 3*(1/4*√3)(1/3)^2) Bei A3 kommen  jetzt 12 Dreiecke mit Seitenlänge 1/9 dazu  usw.

ich zeig dir P3 und P4

Die Kurve heisst Kochs Schneeflocke unter Kochs snowflake im engl wiki oder Kochkurve (nur ein Drittel der Snowflake im deutschen wiki

Gruß lul