Zeigen, dass genau eine reelle Lösung

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die algebraische Gleichung

\( 4 u^{2} v^{4}+12 u^{2} v^{2}+4 u^{2}+4 u v^{2}+4 u+1=0 \)

genau eine reelle Lösung besitzt, d.h. dass es genau ein \( u=u_{0} \in \mathbb{R} \) und genau ein \( v=v_{0} \in \mathbb{R} \) gibt, welche die obige Gleichung erfullen. Berechnen Sie \( u_{0} \) und \( v_{0} \).

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand die Aufgrabe vorrechnen, bzw. einen Lösungsweg aufschreiben. Vielen Dank im Voraus für die Antwort

Answer 1

Hallo,

\(4 u^{2} v^{4}+12 u^{2} v^{2}+4 u^{2}+4 u v^{2}+4 u+1=0 \)

\(4 u^{2} v^{4}+12 u^{2} v^{2}+4 u^{2}+4 u v^{2}+4 u = -1 \)

v² und v^4 sind nicht negativ. Also muss u negativ sein, da die Summe negativ sein soll.

\(u^{2} v^{4}+3 u^{2} v^{2}+u^{2}+u v^{2}+ u =-\frac14\)

\(u^{2} (v^{4}+2 v^{2}+1) +u^2v^2+u (v^{2}+ 1)=-\frac14\)

\(u^{2} (v^{2}+1)^2 +u^2v^2+u (v^{2}+ 1)=-\frac14\)

\(z=v^2+1~~~;~~~z\ge1\)

\(u^{2} z^2 +u^2(z-1)+u z=-\frac14\)

Für z=1 → u=-0,5 ; v=0.

Gibt es eine Lösung für z>1?

...

Comments

Uo= -0,5 und Vo=0 ist die Lösung

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Das weiß ich. Du musst aber noch nachweisen, dass es die einzige reelle Lösung ist.

Answer 2

Mit \(a\colonequals4v^4+12v^2+4\) und \(b\colonequals4v^2+4\), sowie \(c\colonequals1\) soll gelten

\(au^2+bu+c=0\).

Für jedes \(v\in\mathbb R\) ist offenbar \(a\ne0\). Es liegt also eine quadratische Gleichung für \(u\) vor, die bekanntlich genau dann mindestens eine reelle Lösung hat, wenn die Diskriminante \(D\colonequals b^2-4ac\) nichtnegativ ist.
Man rechnet leicht nach, dass hier \(D=-16v^2\) ist. Es folgt, dass \(v=0\) sein muss. In diesem Fall reduziert sich die ursprüngliche Gleichung auf

\(4u^2+4u+1=0\).

Das heißt \((2u+1)^2=0\), woraus \(u=-\frac12\) folgt.

Die einzige reelle Lösung ist also \(\ \boxed{(u_0,v_0)=(-\tfrac12,0)}\).

Comments

Sehr schöne Lösung!

:-)