Hat jemand einen Tipp, wie ich die Wahrscheinlichkeit P(B ∩ A^c) berechnen kann?

Question

Aufgabe: Gegeben sein ein Ergebnisraum S, ein Wahrscheinlichkeitsmaß P und der entsprechende
Wahrscheinlichkeitsraum (S,P(S), P). Weiterhin sei bekannt, dass für zwei Ereignisse
A ⊂ S und B ⊂ S gilt:
P(A|B) = 1/3
, P(B) = 1/2
Berrechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P(B ∩ A^c).

Problem/Ansatz: Mein Ansatz war P(B ∩ A^c) nach den gegeben Rechenregeln umzuformen, also P(B ∩ A^c) => P(B/A) => P(B)- P(A∩B) ..., aber ich komme nicht weiter. Hat jemand einen Tipp, wie ich die Wahrscheinlichkeit P(B ∩ A^c) berechnen kann?

Answer 1

Aloha :)

Wegen \(B=(B\cap A)\,\dot\cup\,(B\cap \overline A)\) gilt:$$p(B)=\pink{p(B\cap A)}+p(B\cap \overline A)=\pink{p(B)\cdot p(A|B)}+p(B\cap \overline A)$$Das kannst du umstellen und die Werte einsetzen:$$p(B\cap\overline A)=p(B)-p(B)\cdot p(A|B)=\frac12-\frac12\cdot\frac13=\frac36-\frac16=\frac13$$

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Vielen Dank!