Aloha :)
Wir suchen die Extrema der Funktion \(f\) unter einer konstanten Nebenbedingung \(g\):$$f(x;y;z)=x^2-y^2\quad;\quad g(x;y;z)=x^2+2y^2+3z^2=1$$
Nach Lagrange muss im Extremum der Gradient der Funktion eine Linearkombinationen der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da es hier nur eine Nebenbedingung gibt, ist die Rechnung übersichtlich:$$\operatorname{grad}f=\lambda\operatorname{grad}g\implies\begin{pmatrix}2x\\-2y\\0\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}2x\\4y\\6z\end{pmatrix}$$Offensichtlich muss \(z=0\) gelten. Für die erste und zweite Koordinate müssen die beiden Vektoren \(\binom{2x}{-2y}\) und \(\binom{2x}{4x}\) kollinear sein, d.h. sie müssen parallel oder antiparallel zueinander stehen und dürfen keine Fläche aufspannen:$$0\stackrel!=\operatorname{det}\begin{pmatrix}2x & 2x\\-2y & 4y\end{pmatrix}=8xy+4xy=12xy\implies xy=0\implies x=0\;\lor\;y=0$$Wir fassen die gefundenen Bedingungen an ein Extremum zusammen:$$z=0\quad\land\quad(x=0\quad\lor\quad y=0)$$
Durch Einsetzen in die Nebenbedingung erhalten wir mögliche Extrempunkte:$$z=0\;\land\;x=0\implies 0^2+2y^2+3\cdot0^2=1\implies 2y^2=1\implies y=\pm\frac{1}{\sqrt2}$$$$z=0\;\land\;y=0\implies x^2+2\cdot0^2+3\cdot0^2=1\implies x^2=1\implies x=\pm1$$$$z=0\;\land\;x=0\;\land\;y=0\implies\text{Nebenbedingung nicht erfüllt.}$$
Kandidaten für Extremwerte sind daher:$$P_1(-1|0|0)\quad;\quad P_2(1|0|0)\quad;\quad P_3\left(0\bigg|-\frac{1}{\sqrt2}\bigg|0\right)\quad;\quad P_4\left(0\bigg|\frac{1}{\sqrt2}\bigg|0\right)$$
Da in der Funktion \(f(x;y;z)=x^2-y^2\) die Quadrate von \(x\) positiv und die von \(y\) negativ eingehen, sind \(P_1\) und \(P_2\) Maxima und \(P_3\) und \(P_4\) sind Minima.
