GruppenIsomoprhismus Beweis wie muss man Vorgehen?

Question

Aufgabe: Gruppenisomorphismus

Wann handelt es sich bei zwei Gruppen (G,+) und (H,*) um ein Gruppenisomorphismus und wie kann man dies am besten beweisen. Eigene Beispiele zum besseren erläutern sind erwünscht. Danke schon im Voraus.

PS. Möchte nur den Ansatz wie man an so eine Aufgabe am besten rangeht verstehen, natürlich wäre ein beweis auch hilfreich mit Erklärung aber :D .

Answer 1

Beispiel für die Gruppen (ℝ⁺ ;  * ) und (ℝ ; + ) .

Da ist die Funktion ln: ℝ+ → ℝ  ein Isomorphismus, weil sie

1. bijektiv ist (Denn ln ist streng monoton wachsend (also injektiv)

         und hat für x gegen 0 bzw. x gegen unendlich die Grenzwerte

           minus unendlich bzw. + unendlich.

2. ein Gruppenhomomorphismus ist, denn ln(x*y) = ln(x) + ln(y).