Wahr oder Falsch: Geg. Abb. ist ein Gruppenisomorphismus

Question

Aufgabe:

Sei \( S \in \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}) \) eine beliebige Matrix.
Behauptung: Die Abbildung
\( \varphi: \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}), \quad A \mapsto S^{-1} A S \)
ist ein Gruppenisomorphismus.

-> Wahr oder Falsch?

Problem/Ansatz:

Meine Vermutung ist eher bei falsch, aber was meint ihr?

Answer 1

Es handelt sich um einen Gruppenisomorphismus,

einen sogenannten inneren Automorphismus.

Zeige die Homomorphie-Eigenschaft und begründe die

Bijektivität durch Angabe der Umkehrabbildung.