Zeigen Sie: Es existiert ein Gruppenisomorphismums von (K, +) auf M .

Question

Aufgabe:

ei K ein Körper und sei
M :=  {   (1       a                 ∣ a ∈K   }

              0       1)

Zeigen Sie:
(a) Die Menge M ist eine Gruppe bezüglich der Matrixmultiplikation und die
Teilmenge M ⊂GL2(K) ist eine Untergruppe.
(b) Es existiert ein Gruppenisomorphismums von (K, +) auf M .

Problem/Ansatz

Hey, die Aufgabe (a) habe ich schon gelöst, ich weiß nur nicht so recht, wie ich bei der b einen Gruppenisomorphismus finde.

Kann mir jemand helfen?

Comments

Wie du bei a) hoffentlich gesehen hast ist.

\( \begin{pmatrix} 1 & a\\0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & b\\0&1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & a+b\\0&1 \end{pmatrix}  \)

Die Addtion a+b oben rechts entspricht also einer Matrixmultiplikation

Versuche also mal die Abbildung

$$ K\to M, ~x\mapsto \begin{pmatrix} 1 & x\\0&1 \end{pmatrix} $$

Answer 1

Definiere \(f:\;K\rightarrow M\) durch$$x\mapsto\left(\begin{array}{cc}1&x\\0&1\end{array}\right)$$Dann kannst du \(f(x+y)=f(x)\cdot f(y)\) leicht bestätigen.

Answer 2

Ordne jedem a aus K die Matrix  M_a =

1   a
0   1       zu.  Das ist der Isomorphismus, denn es gilt

M_a * M_b = M_a+b .

und bijektiv ist das auch.