Gruppenhomomorphismus und Normalteiler. Mathematik für Informatiker.

Question

Aufgabe:

Sei \( \varphi: G \longrightarrow F \) ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie:

(a) Ist \( M \subset F \) ein Normalteiler, dann ist \( \varphi^{-1}(M) \subset G \) ein Normalteiler.
(b) Ist \( \varphi \) surjektiv und \( N \subset G \) ein Normalteiler, dann ist \( \varphi(N) \subset F \) ein Normalteiler.

Answer 1

Für a) ist zu zeigen:   ( unter der Vor. M Normalteiler in F)

\( \varphi^{-1}(M)  \) ist ein Normalteiler von G .

d.h. Für alle y ∈ G und alle x∈ φ^(-1)(M) gilt  y*x*y^(-1) ∈ φ^(-1)(M)

<=>  Es gibt ein z∈M mit z = φ(    y*x*y^(-1)  )

Da φ ein Hom also

<=> z = φ(    y)   * φ( x) *φ(  y^(-1)  )

<=>  z = φ(    y)   * φ( x) *φ(  y) ^(-1)

Und weil φ(  y) ∈ M und M Normalteiler in F
und  φ(    y)  ∈ F ist   φ(    y)   * φ( x) *φ(  y) ^(-1)  ∈M

also  z∈M .    q.e.d.