Unter dem Kapitel ,,differentialformen im R^n" steht in einem Kapitel folgendes:
Jeder Tangentialraum \( T_{p} \mathbb{R}^{n} \) des Koordinatenraums ist ein orientierter, euklidischer Vektorraum und somit haben wir in ihm sowohl die Volumenform
\( d \mathbb{R}^{n}(p) \in \bigwedge_{p}^{n}\left(\mathbb{R}^{n}\right) \)
als auch den Hodge-Operator
\( *: \quad \bigwedge_{p}^{k}\left(\mathbb{R}^{n}\right) \longrightarrow \bigwedge_{p}^{n-k}\left(\mathbb{R}^{n}\right) \)
vorliegen. Dies gibt uns die Möglichkeit, zu jeder auf \( \mathbb{R}^{n} \) definierten Differentialform \( \omega^{k} \) vom Grade \( k \) die entsprechende \( (n-k) \)-Form \( * \omega^{k} \) zu betrachten, indem wir den \( * \)-Operator punktweise jeweils auf \( \omega^{k}(p) \) anwenden. Ist \( e_{1}, \ldots, e_{n} \) eine orthonormale Basis des Raums \( \mathbb{R}^{n} \) und sind \( x^{1}, \ldots, x^{n} \) die Koordinatenfunktionen, dann gilt für eine \( k \)-Form \( \omega^{k}=\sum \omega_{I} d x^{I} \), dargestellt in diesen Koordinaten, die Formel
\( * \omega^{k}=\sum \limits_{I} \operatorname{sgn}\left(\begin{array}{c} 1 \ldots n \\ I, J \end{array}\right) \omega_{I} d x^{J} \)
Dabei ist \( J=\left(j_{1}<\ldots<j_{n-k}\right) \) das zu \( I=\left(i_{1}<\ldots<i_{k}\right) \) komplementäre Indextupel. Die Volumenform \( d \mathbb{R}^{n} \) selbst ist einfach gegeben durch
\( d \mathbb{R}^{n}=d x^{1} \wedge \ldots \wedge d x^{n} . \)
Wir haben weiterhin die Möglichkeit, von einem Vektorfeld \( \mathcal{V} \) zu einer 1-Form \( \omega_{\mathcal{V}}^{1} \) und umgekehrt überzugehen.
Den Teil, wo die k-form definiert, verstehe ich nicht ganz. Das gehört ja weniger zur Definition und isz eher eine Aussage. Wie kommt man jetzt aber auf diese k-Form? Da steht zwar bisschen was, aber die eigentliche (längere) Herleitung steht da nicht drauf oder? Ich finde leider auch keine Videos oder sonstige Infos im Internet dazu. Besser gesagt: ich würde gerne wissen, wie man zeigt, dass das gilt ^^
