Bestimme lim n → ∞ 1/rn.

Question

Text erkannt:

Es sei \( x \in(0,1) \backslash \mathbb{Q} \) und \( \left(q_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{Q} \) so, dass \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} q_{n}=x \). Darin sei für \( n \in \mathbb{N} \) jeweils \( q_{n}=\frac{p_{n}}{r_{n}} \) mit \( p_{n}, r_{n} \in \mathbb{N} \) in maximal gekürzter Darstellung.
Bestimme \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{r_{n}} \).

Aufgabe:

Answer 1

Hallo,

die Behauptung ist: \(r_n \to \infty\). Wir nehmen an, dies sei falsch. Dann existieren Teilfolgen, die wir einfach auch mit \(q_n,r_n\) bezeichnen, so dass \(q_n/r_n \to x\) und \(r_n \leq N\)

Für ein festes r gibt es nur endliche viele mögliche Zähler q, nämlich höchstens 0,1,2,...,r. Folglich ist

$$0< \min\{|q/r-x| \mid r\leq N \text{ mit zulässigem } q\}$$

Das ist ein Widersprich zu \(q_n/r_n \to x\) und \(r_n \leq N\)

Gruß Mathhilf