Zeigen Sie, dass X und X^{2} nicht stochastisch unabhängig sind.

Question

Aufgabe:

Es sei \( (\Omega, \mathcal{A}, P) \) ein Wahrscheinlichkeitsraum und \( X: \Omega \rightarrow\{-2,-1,0,1,2\} \) eine Zufallsvariable
\( P\{X=-2\}=P\{X=-1\}=P\{X=1\}=P\{X=2\}=\frac{1}{8} \text { und } P\{X=0\}=\frac{1}{2} \)
(a) Zeigen Sie, dass \( X \) und \( X^{2} \) nicht stochastisch unabhängig sind.
(b) Berechnen Sie \( \operatorname{Cov}\left(X, X^{2}\right) \).

Problem/Ansatz:

Wie ich auf stochastische Unabhängigkeit prüfe und auch wie ich die Kovarianz berechne, weiß ich grundsätzlich. Allerdings stehe ich irgendwie gerade aus dem Schlauch wie ich \(X^{2}\) bestimme und damit dann die Aufgaben erledige.

Und wo ich mir auch nicht ganz sicher bin: Muss ich \(P(X)=1\) verwenden?

Answer 1

Allerdings stehe ich irgendwie gerade aus dem Schlauch wie ich \(X^{2}\) bestimme

\( X^2:\ \Omega \rightarrow\{0,1,2\},\ \omega \mapsto (X(\omega))^2 \)

Muss ich \(P(X)=1\) verwenden?

Der Ausdruck \(P(X)\) ergibt keinen Sinn. \(X\) ist eine Zufallsvariable, kein Ereignis.

Comments

Danke schonmal!

Nun bin ich aber leider etwas verwirrt. Denn in der Vorlesung hatten wir bislang nur stochastische Unabhängigkeit für Ereignisse geprüft.

Wie mache ich das denn bei Zufallsvariablen?

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Irgendwo in deinen Unterlagen müsste stehen, dass zwei Zufallsvariablen \(X:\Omega \to E_1\) und \(Y:\Omega \to E_2\) in die Messräume \((E_1, \Sigma_1)\) bzw. \((E_2,\Sigma_2)\) genau dann stochastisch unabhängig heißen, wenn die Ereignisse \(X^{-1}(B_1)\) und \(Y^{-1}(B_2)\) für alle \(B_1\in \Sigma_1\) und alle \(B_2\in \Sigma_2\) stochastisch unabhängig sind.