Aloha :)
Wir betrachten die Koordinaten-Darstellung einer Ebene$$E\colon3x-4y+2z=7$$
Zur Überführung in die Normalenform, schreiben wir die linke Seite als Skalarprodut:$$E\colon\underbrace{\begin{pmatrix}3\\-4\\2\end{pmatrix}}_{=\vec n}\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}_{=\vec r}=7$$Das wär's jetzt eigentlich schon.
Du sollst aber eine besonders umständliche Form angeben, in der auch die Zahl \(7\) als Skalarprodukt auftritt. Dazu wähle einen beliebigen Punkt der Ebene, etwa \((0|0|\frac72)\):$$E\colon\underbrace{\begin{pmatrix}3\\-4\\2\end{pmatrix}}_{=\vec n}\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}_{=\vec r}=\underbrace{\begin{pmatrix}3\\-4\\2\end{pmatrix}}_{=\vec n}\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}0\\0\\\frac72\end{pmatrix}}_{=\vec r_1}$$Das Skalarprodukt auf der rechten Seite muss nun \(7\) sein, weil der gewählte Punkt ja die Ebenengleichung erfüllt.
Damit dein Leerer glücklich ist, bringen wir das noch auf die gewünschte Form:$$E\colon\begin{pmatrix}3\\-4\\2\end{pmatrix}\cdot\left(\vec r-\begin{pmatrix}0\\0\\\frac72\end{pmatrix}\right)=0$$
Zur Darstellung der Ebenengleichung in Parameterform könntest du 3 Punkte aus der Ebene wählen und mit diesen dann die Parameterform aufstellen. Ich empfehle, die Ebenengleichung nach einer Variablen umzustellen, etwa nach der Variablen \(z\):$$z=\frac72-\frac32x+2y$$und damit alle Punkte der Ebene anzugeben:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\\frac72-\frac32x+2y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\\frac72\end{pmatrix}+x\begin{pmatrix}1\\0\\-\frac32\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}$$
