Kann das Bsp. bitte jemand erklären?
Gegeben sei die alternierende Reihe\( \frac{1}{1}-\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3^{2}}+\cdots, \)wobei wir den Betrag des \( n \)-ten Summanden mit \( a_{n} \) bezeichnen.
(a) Geben Sie eine explizite Darstellung für \( a_{n} \) an und begründen Sie, dass \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Nullfolge ist. Zeigen Sie zudem, dass es kein \( N \in \mathbb{N} \) gibt, sodass \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) ab dem Index \( N \) monoton ist.
(b) Zeigen Sie, dass für alle \( n \geq 2 \) die \( 2 n \)-te Partialsumme\( \frac{1}{1}-\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}} \)der Reihe größer oder gleich \( \frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{2 n} \) ist. Folgern Sie daraus, dass die Reihe divergiert.
