Wie kann ich zeigen, dass dies gilt: |ex−1| ≤ e^|x| −1 ≤ |x|*e^|x|.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für alle x ∈ R gilt:

|e^x−1| ≤ e^|x| −1 ≤ |x|*e^|x|.

Problem/Ansatz:

Ich bin am zweifeln, ich weiß das es stimmt, habe es auch ausprobiert, jedoch weiß ich nicht wie ich es zeigen soll…

Comments

Hallo
warum nicht für x>0 und x<0 einzeln betrachten?  bei x=0 gilt das =

lul

Answer 1

Verfolge den Tipp von lul und betrachte mal erst nur \(  |e^x−1| \le e^{|x|} −1 \) #

1. Fall x>0:         Da ist e^x > 1 also e^x - 1 > 0 also | e^x - 1| =  e^x - 1

         und e^|x| −1  = e^x -1   , also wird die Ungleichung # zu

                                      \(  |e^x−1| \le e^{|x|} −1 \)

<=>       \(  e^x−1 \le e^{x} −1 \)  was ja stimmt.

2. Fall x<0   Da ist e^x < 1 also e^x - 1 < 0 also | e^x - 1| =  -e^x +1
        und e^|x| −1  = e^-x -1  , also wird die Ungleichung # zu

                              \(  -e^x+1 \le e^{-x} −1 \)

<=>                   \(  -e^x+1 \le \frac{1}{e^{x}} −1 \)

<=>                  \(         2 \le \frac{1}{e^{x}} +e^x  \)  | * e^x  

<=>                  \(        2e^x \let 1 +e^{2x}  \)

<=>                  \(       0  \le 1 -2e^x +e^{2x}  \)

<=>                  \(      0  \le (1 -e^x)^2   \)

Vielleicht bekommst du den 2. Teil   \(  e^{|x|}-1 \le |x|e^{x} \) so ähnlich

auch hin .