Bestimmen Sie die Definitions- und Wertebereiche für die folgende Funktion und

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Definitions- und Wertebereiche für die folgende Funktion und
geben Sie außerdem an, ob die Funktion eine Achsen- oder Punktsymmetrie
zeigt.

Ich habe für den Definitionsbereich D=R und für den Wertebereich W = [-e^1 ; e^1]

Wolfram Alpha hat allerdings was anderes raus. Kann mir jemand erklären, warum meins nicht stimmt?

Als Symmetrie habe ich nur eine Punktsymmetrie. Das dürfte richtig sein.

Danke schonmal für die Hilfe ^^

Answer 1

Ich vermute, dass es nicht das geschlossene, sondern das offene Intervall sein muss.

f(x)=e bedeutet ja, dass cos(x²-1)=1 und sin(x)=1 gilt. Allerdings gibt es kein x, dass beide Bedingungen erfüllt.

cos(x²-1)=1 → x^2=n•2π

sin(x)=1 → x=½π + m•2π

Comments

Was bedeutet das für den Definitions- und Wertebereich?

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Der DB war doch in Ordnung. Für den WB wurde dir so geantwortet:

Ich vermute, dass es nicht das geschlossene, sondern das offene Intervall sein muss.

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Ich verstehe aber nicht, was damit gemeint ist ^^

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Der Definitionsbereich ist meiner Meinung nach gleich \(\R\), also so wie du es beschrieben hast.

Beim Wertebereich müsste

(-e;+e) stehen bzw. ]-e; +e[ .

Das bedeutet, dass -e und e nicht dazu gehören.

Was gibt Wolframalpha denn an?

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Text erkannt:

Results:
Domain:
\( \left\{x \in \mathbb{R}:\left(e \neq 0\right.\right. \) and \( \left.\cos \left(1-x^{2}\right) \in \mathbb{Z}\right) \) or \( \left(\cos \left(1-x^{2}\right) \geq 1\right. \) and \( \left.\cos \left(1-x^{2}\right) \in \mathbb{Z}\right) \) or \( \left(e \geq 0\right. \) and \( \left.\cos \left(1-x^{2}\right)>0\right) \) or \( \left.e>0\right\} \)
Range:
(unable to determine range)
(assuming a function from reals to reals)

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Offensichtlich geht WA davon aus, dass e eine Variable und keine Konstante ist.

Insgesamt sieht das ziemlich wirr aus.

:-)

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Vielen Dank an euch beide :)

Answer 2

cos(x^2-1) nimmt alle möglichen Werte zwischen -1 und 1 an.

sin(x) nimmt alle möglichen Werte zwischen -1 und 1 an.

Das Problem ist, dass sie das Annehmen der Werte 1 und -1 nicht gleichzeitig tun.

Wenn cos(x^2-1) den extremen Wert 1 annimmt ist der Funktionswert längst nicht extrem, weil der Faktor sin(x) hier den Spielverderber gibt und den "extremen" Wert von \(e^{cos(x^2-1)}\) betragsmäßig herunterzieht.

Deine beiden Werte sind durchaus untere und obere Schranke des Definitionsbereichs, werden aber selbst nirgendwo genau angenommen. Dafür wäre es erforderlich, dass gleichzeitig x die Form (2n+1)/2 * π und x²-1 die Form k*π annimmt.

Comments

Was muss ich dann als Definitions- Wertebereich angeben?