Aufgabe zu: Monotonie / einseitige Limes

Question

Aufgabe:

Zeige:
Ist f : (a, b) → R eine monoton wachsende Funktion, so existieren in jedem Punkt x₀ ∈ (a, b) beide einseitige Limes.

Problem/Ansatz:

Irgendwie stehe ich auf den Schlau... hat nicht jeder Punkt einen "beidseitigen" Limes egal ob monoton oder nicht? Oder versteh ich die Aufgabe falsch? Vielleicht meinen die eher das die beiden einseitigen Limes gleich sind ?? :(

Vielleicht kann mir jemand (schrittweise) erklären wie ich das angehen soll.

Zur Info: wir arbeiten lediglich mit dieser Definition von monoton wachsend

x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y) und nicht mit der Ableitung

Answer 1

hat nicht jeder Punkt einen "beidseitigen" Limes egal ob monoton oder nicht?

Die Funktion könnte doch hin und her schwingen oder einen einseitigen Pol haben ...

Es sei z in (a,b). Wir zeigen, dass ein linksseitiger Grenzwert existiert. Die Menge

$$A:=\{f(x) \in \R \mid x \in (a,z)\} $$

Die Menge A ist nach oben beschränkt, etwa durch \(f(0.5(z+b))\), also hat sie ein Supremum, sagen wir w.

Jetzt sei \(\epsilon>0\) gegeben, dann ist \(w-\epsilon\) keine obere Schranke von A, also existiert ein \(y \in (a,z)\) mit \(w-\epsilon < f(y)\). Dann gilt auch

$$f:\; (y,z) \to (w-\epsilon,w]$$