Question

Warum gilt (x²)^0,5 = |x| ?

Nach den Potenzgesetzten wäre (x²)^0,5= x^2*0,5 = x

Mir ist bewusst, dass das obere das richtige ist, aber wie kann man das Beweisen bzw. gibt es ein allgemeines Gesetz?

Comments

Die Wurzel aus einer Quadratzahl ist immer positiv.

(-x)^2 = x^2

Answer 1

Nach den Potenzgesetzten wäre (x²)^0,5= x^2*0,5 = x

allerdings nur für nicht negatives x; denn

((-5)^2)^0,5 = 25^0,5 = 5  (ungleich -5). Nur der gleiche Betrag.

Answer 2

Bei den Potenzgesetzen geht man immer davon aus, dass die Basis nicht negativ ist, denn in der Mathematik sollte die Wurzel nie aus einer negativen Zahl gezogen werden.

Die Wurzel einer Zahl ist diejenige nicht negative Zahl die quadriert den Term unter der Wurzel ergibt. Die Wurzel ist ja eine Funktion und Funktionen haben maximal einen Funktionswert und nie mehrere.

Das bedeutet wenn man eine quadratische Gleichung löst muss man sowohl die positive als auch die negative Lösung extra betrachten.

x^2 = 4
x = ±√4

Die Wurzel aus 4 selber beinhaltet also nur die positive Lösung und die negative müssen wir mit dem ± extra dazuschreiben.

Machen wir uns also einmal den Spaß und rechnen die Wurzel des Quadrates einer negativen Zahl aus

√((-2)^2) = √(4) = +2

Du siehst auch bei quadraten von negativen Zahlen gibt die Wurzel nur den Betrag der vorherigen Zahl zurück.

Answer 3

Aloha :)

Die Wurzel ist so definiert, dass sie nie negativ ist:\(\quad\sqrt{x}\ge0\quad\text{für alle }x\ge0\)

Daher ist:\(\quad\sqrt{x^2}=|x|\).

Du darfst das nicht verwechseln mit der Lösung einer quadratischen Gleichung:$$y^2=x^2\implies y=\pm\sqrt{x^2}=\pm|x|$$Man schreibt das \(\pm\) Zeichen davor, eben weil die Wurzelfunktion selbst immer \(\ge0\) ist.