Bestimmen Sie eine Basis von U_{1} und U_{2}

Question

Aufgabe:

Im \( \mathbb{R}^{4} \) seien die Vektoren
\(\begin{array}{l} v_{1}=(1,1,1,1) \\ v_{2}=(1,0,0,1) \\ v_{3}=(1,0,1,0) \\ v_{4}=(1,1,2,0) \end{array}\)
gegeben sowie
\( U_{1}:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \mid x_{1}+x_{3}=0\right\} \subset \mathbb{R}^{4} . \)
(a) Bestimmen Sie eine Basis von \( U_{1} \) und \( U_{2}:=\operatorname{span}\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right) \).

Answer 1

Es ist \(  v_{4}=    v_{1}-v_{2}+v_{3}\)  und   \(  v_{1},v_{2},v_{3}\)  sind lin. unabh.

also eine Basis für U₂ .

Bei U₁ sind alle Vektoren der Art v = (-b,a,b,c]

= a(0,1,0,0)+b(-1,0,1,0)+c(0,0,0,1) und (0,1,0,0),(-1,0,1,0),(0,0,0,1)

sind lin. unabh. , bilden also eine Basis für U₁ .