Mächtigkeit von Mengen: |A| = |C|, |B| = |D| -> Beweise |A x B| = |C x D| für den Fall das die Mengen unendlich sind.

Question

Aufgabe:

Seien A, B, C, D Mengen mit $$|A|=|C|$$ und $$|B|=|D|$$ Gilt dann
$$ |A \times B|=|C \times D| \text { ? } $$
Wenn ja, beweisen Sie die Aussage. Wenn nein, geben Sie ein Gegenbeispiel an.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe leider nicht wie man die Aufgabe für den Fall, dass die Mengen unendlich sind lösen soll. Kann mir hier vielleicht jemand helfen?

Answer 1

Seien \(f:A\rightarrow C\)  und \(g:B\rightarrow D\) Bijektionen.
Zeige, dass dann auch
\(f\times g:A\times B\rightarrow C\times D, \; (f\times g)((x,y))=(f(x),g(y))\)
eine Bijektion ist.

Comments

Vielen Dank für die Antwort, allerdings weiß ich trotzdem nicht wie ich das zeige.

Hast du da vielleicht auch noch einen Tipp/Lösung?

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Zeige, dass \(f\times g\) surjektiv und injektiv ist.
Dabei benutze, dass \(f\) und \(g\) beide surjektiv und injektiv sind.

Answer 2

Das hängt davon ab, ob die Aussage gilt oder nicht.

Wenn sie gilt, dann konstruiert man eine bijektive Abbildung zwischen \(A\times B\) und \(C\times D\) mittels der bijektiven Abbildungen \(A\to C\) und \(B\to D\).

Wenn sie nicht gilt, dann gibt man Mengen \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) an, so dass bijektive Abbildungen \(A\to C\) und \(B\to D\) existieren, aber keine Abbildung \(A\times B \to C\times D\) bijektiv ist.