Zeige, dass die Folge c_n mit

Question

Aufgabe:

Für n element ℕ* seien

       n-1                             n

a_n= ∑ 4^k      und b_n= ∏ 2^k

       k=0                           k=1

Zeige, dass die Folge c_n mit

c_n = (a_n)÷ (b_n)    konvergiert und bestimme den Grenzwert.

Answer 1

Aloha :)

Mit Hilfe der Summenformel für endliche geometrische Reihen erhalten wir:$$a_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}4^k=\frac{1-4^{(n-1)+1}}{1-4}=\frac{1-4^n}{-3}=\frac{4^n-1}{3}$$Mit Hilfe des Potenzgesetzes \((a^b\cdot a^c=a^{b+c})\) finden wir:$$b_n=\prod\limits_{k=1}^{n}2^k=2^{\left(\sum\limits_{k=1}^nk\right)}=2^{\frac{n^2+n}{2}}=(2^{\frac12})^{n^2+n}=(\sqrt2)^{n^2+n}$$und können die Terme der Folge \((c_n)\) formulieren:$$c_n=\frac{a_n}{b_n}=\frac{\frac{4^n-1}{3}}{(\sqrt2)^{n^2+n}}=\frac13\cdot\frac{((\sqrt2)^4)^n-1}{(\sqrt2)^{n^2+n}}=\frac13\cdot\frac{(\sqrt2)^{4n}-1}{(\sqrt2)^{n^2+n}}=\frac13\cdot\frac{1-\frac{1}{(\sqrt2)^{4n}}}{(\sqrt2)^{n^2-3n}}\to0$$Der Zähler geht gegen \(1\), der Nenner wächst ins Unendliche, daher ist der Grenzwert der Folge \((c_n)\) gleich \(0\).