Aloha :)
Wir sollen das Volumen folgender Punktmenge \(G\) bestimmen:$$G=\left\{(x;y;z)\in\mathbb R^3\,\bigg|\,\frac xa+\frac yb+\frac zc\le1\;\land\;x,y,z\ge0\right\}$$
Dazu überlegen wir uns zuerst die Integrationsgrenzen.
Bei der Wahl von \(x\) müssen wir die Bedingung \(0\le\frac xa\le1\) erfüllen.
Bei der Wahl von \(y\) müssen wir dann die Bedinung \(0\le \frac yb\le1-\frac xa\) erfüllen.
Bei der Wahl von \(z\) müssen wir schließlich die Bedinung \(0\le \frac zc\le1-\frac xa-\frac yb\) erfüllen.
Das liefert uns folgende Integrationsintervalle:$$x\in[0|a]\quad;\quad y\in\left[0\bigg|b\left(1-\frac xa\right)\right]\quad;\quad z\in\left[0\bigg|c\left(1-\frac xa-\frac yb\right)\right]$$
Damit können wir das Volumenintegral formulieren:$$V=\int\limits_{x=0}^a\int\limits_{y=0}^{b\left(1-\frac xa\right)}\int\limits_{z=0}^{c\left(1-\frac xa-\frac yb\right)}\,dx\,dy\,dz$$Da die Grenzen für die Integration über \(dz\) noch von \(x\) und \(y\) abhängen, müssen wir zuerst über \(dz\) integrieren:$$V=\int\limits_{x=0}^a\int\limits_{y=0}^{b\left(1-\frac xa\right)}\left[z\right]_{z=0}^{c\left(1-\frac xa-\frac yb\right)}\,dx\,dy=\int\limits_{x=0}^a\int\limits_{y=0}^{b\left(1-\frac xa\right)}c\left(1-\frac xa-\frac yb\right)dx\,dy$$Wir ziehen die Konstante \(c\) vor das Integral und müssen als nächstes über \(dy\) integrieren, weil die obere Grenze von \(dy\) noch von \(x\) abhängt:$$V=c\int\limits_{x=0}^a\left[y-\frac {xy}{a}-\frac{y^2}{2b}\right]_{y=0}^{b\left(1-\frac xa\right)}=c\int\limits_{x=0}^a\left(b\left(1-\frac xa\right)^2-\frac b2\left(1-\frac xa\right)^2\right)dx=\frac{bc}{2}\int\limits_{x=0}^a\left(1-\frac xa\right)^2$$$$\phantom V=\frac{bc}{2}\left[(-a)\frac13\left(1-\frac xa\right)^3\right]_{x=0}^a=\frac{abc}{6}\left[\left(\frac xa-1\right)^3\right]_{x=0}^a=\frac{abc}{6}\left(0-(-1)\right)=\frac{abc}{6}$$
