Stetigkeit von Funktionen im R²

Question

Untersuchen Sie die folgenden auf \( \mathbb{R}^{2} \) definierten Funktionen auf Stetigkeit.

(i) \( f(x, y):=\left\{\begin{array}{cc}\frac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}+y^{2}} & \text { falls }(x, y) \neq(0,0) \\ 0 & \text { falls }(x, y)=(0,0)\end{array}\right. \)
(ii) \( g(x, y):=\sin (x+y) \cdot f(x, y) \)

Die i) ist stetig in 0 für (x,y) ≠ (0,0) und für gleich (0,0) sowieso, da es sich um die Nullfunktion handelt? Kann mir jemand meine Aussage falsi- bzw. verifizieren?

Grüße

Comments

Manchmal hilft der gesunde Menschenverstand: Welchen Sinn würde Aufgabe (ii) noch machen, wenn schon f stetig wäre?

Schau Dir mal f(1/n,0) und f(0,1/n) an.

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-1 für f(1/n,0) und 1 für f(0,1/n)

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Also ist f im Nullpunkt nicht stetig.

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Okay ich verstehe, und die Begründung dass wenn die Funktion = 0 ist hat so gepasst oder? Also für (x,y) = (0,0) gilt stetig und für (x,y) ≠ (0,0) nicht stetig -> Daraus folgt f nicht stetig im allgemeinen für (i)?

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Es ist umgekehrt: f ist in jedem Punkt \((x,y) \neq (0,0)\) stetig, im Nullpunkt aber unstetig.

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Ah stimmt hab mich vertan, genau alles klar. Mit der Info versuche ich mich jetzt an der (ii), dankesehr!

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Darf ich einfach sagen: f(x,y) mit 0 mit der info aus der (i) abschätzen und mit der multiplikation ist das gesamte 0 und somit stetig?

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Mathieu Balls,

Hättest du vielleicht die richtige Lösung für die Aufgabe, weil ich es einfach nicht raffe?!

MfG