Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen

Question

Aufgabe:

An einer Schraubenfeder ist eine Kugel befestigt. Wird die Kugel um eine Länge von y₀ = 5cm ausgelenkt, so kann die Bewegung durch das folgende Weg-Zeit-Gesetz beschrieben werden:

y(t)=y₀ * e^-g*t*sin(h*t)

y... Auslenkung in cm, t...Zeit in s,

(Dämpfungskonstante g= 0,5s^-1, Kreisfrequenz h=20s^-1)

Problem/Ansatz:

1) Stelle die Weg-Zeit-Funktion im Intervall [0 s; 5 s] grafisch dar. (Funktionsgleichung erstellen)

2) Bestimme die Amplitude der Schwingung, wenn genügend viel Zeit vergangen ist. Benutze dabei die Regeln zur Grenzberechnung

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion sieht geplottet so aus:

~plot~ 5*e^(-0,5*x)*sin(20x) ; [[0|10|-5|5]] ~plot~

Offensichtlich fällt die Amplitude mit zunehmender Zeit \(t\) auf null ab. Das kannst du mathematisch durch eine Grenzertbetrachtung belegen:$$y(t)=y_0\cdot e^{-g\cdot t}\cdot\sin(h\cdot t)=y_0\cdot\frac{\sin(h\cdot t)}{e^{g\cdot t}}\quad;\quad g,h>0$$

Die Sinus-Funktion liefert immer Ergebnisse zwischen \((-1)\) und \((+1)\):$$-1\le\sin(h\cdot t)\le+1$$Wir dividieren diese Ungleichungskette durch \(e^{g\cdot t}>0\). Da dieser Wert positiv ist, bleiben die Relationszeichen ungeändert:$$-\frac{1}{e^{gt}}\le\frac{\sin(h\cdot t)}{e^{gt}}\le\frac{1}{e^{gt}}$$Wenn \(t\) nun immer größer wird \((t\to\infty)\), wächst der Nenner \(e^{gt}\to\infty\) und die Brüche ganz links und ganz rechts der Ungleichungskette konvergieren gegen \(0\):$$\lim\limits_{t\to\infty}\left(-\frac{1}{e^{gt}}\right)\le\lim\limits_{t\to\infty}\frac{\sin(h\cdot t)}{e^{gt}}\le\lim\limits_{t\to\infty}\frac{1}{e^{gt}}\quad\implies$$$$0\le\lim\limits_{t\to\infty}\frac{\sin(h\cdot t)}{e^{gt}}\le0$$Daher gilt nach dem Sandwich-Theorem:$$\lim\limits_{t\to\infty}\frac{\sin(h\cdot t)}{e^{gt}}=0$$

Answer 2

Mit einem geeigneten Programm erhältst du diese Zeichnung:

Answer 3

Hier der Graph, Fülltext.