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Aufgabe:

An einer Schraubenfeder ist eine Kugel befestigt. Wird die Kugel um eine Länge von y0 = 5cm ausgelenkt, so kann die Bewegung durch das folgende Weg-Zeit-Gesetz beschrieben werden:

y(t)=y0 * e-g*t*sin(h*t)

y... Auslenkung in cm, t...Zeit in s,

(Dämpfungskonstante g= 0,5s-1, Kreisfrequenz h=20s-1)


Problem/Ansatz:

1) Stelle die Weg-Zeit-Funktion im Intervall [0 s; 5 s] grafisch dar. (Funktionsgleichung erstellen)

2) Bestimme die Amplitude der Schwingung, wenn genügend viel Zeit vergangen ist. Benutze dabei die Regeln zur Grenzberechnung

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Aloha :)

Die Funktion sieht geplottet so aus:

Plotlux öffnen

f1(x) = 5·e^(-0,5·x)·sin(20x)Zoom: x(0…10) y(-5…5)

Offensichtlich fällt die Amplitude mit zunehmender Zeit tt auf null ab. Das kannst du mathematisch durch eine Grenzertbetrachtung belegen:y(t)=y0egtsin(ht)=y0sin(ht)egt;g,h>0y(t)=y_0\cdot e^{-g\cdot t}\cdot\sin(h\cdot t)=y_0\cdot\frac{\sin(h\cdot t)}{e^{g\cdot t}}\quad;\quad g,h>0

Die Sinus-Funktion liefert immer Ergebnisse zwischen (1)(-1) und (+1)(+1):1sin(ht)+1-1\le\sin(h\cdot t)\le+1Wir dividieren diese Ungleichungskette durch egt>0e^{g\cdot t}>0. Da dieser Wert positiv ist, bleiben die Relationszeichen ungeändert:1egtsin(ht)egt1egt-\frac{1}{e^{gt}}\le\frac{\sin(h\cdot t)}{e^{gt}}\le\frac{1}{e^{gt}}Wenn tt nun immer größer wird (t)(t\to\infty), wächst der Nenner egte^{gt}\to\infty und die Brüche ganz links und ganz rechts der Ungleichungskette konvergieren gegen 00:limt(1egt)limtsin(ht)egtlimt1egt    \lim\limits_{t\to\infty}\left(-\frac{1}{e^{gt}}\right)\le\lim\limits_{t\to\infty}\frac{\sin(h\cdot t)}{e^{gt}}\le\lim\limits_{t\to\infty}\frac{1}{e^{gt}}\quad\implies0limtsin(ht)egt00\le\lim\limits_{t\to\infty}\frac{\sin(h\cdot t)}{e^{gt}}\le0Daher gilt nach dem Sandwich-Theorem:limtsin(ht)egt=0\lim\limits_{t\to\infty}\frac{\sin(h\cdot t)}{e^{gt}}=0

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Mit einem geeigneten Programm erhältst du diese Zeichnung:

blob.png

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Hier der Graph, Fülltext.

gm-355-a.JPG

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