Stetigkeit und Grenzwert von z.B. Minimum zeigen

Question

Guten Morgen Leute,

ich weiß zu früh für Mathe... Aber ich versuche das gestern zu verstehen , verstehe ich aber nicht.Ich habe paar Ansätze zumindest zu a) ist das denn eig nicht trivial? Ich weiß nicht , wie ich das formal zeigen kann. Ich weiss dass meine Folge a_n bzw.  b_n gegen a bzw. gegen b konvergiert. Dann ist ja c_n gegeben mit max {a_n, b_n} und soll zeigen zeigen, dss das gegen max {a,b} konvergiert,ist doch aber klar, da an -->a und bn-->b konvergiert oder liege ich falsch?Ich brauche Hilfe bitte !!

! b und c verstehe ich auch nicht :/ Da machts bei mir nicht mehr klick..

(a) Seien (a_n)_n∈N und (b_n)_n∈N konvergente Folgen mit Grenzwerten a und b. Zeigen Sie, dass die
Folge (c_n)n∈N definiert durch cn = max{a_n, b_n }gegen max{a, b} konvergiert.
Seien nun f, g : R → R stetige Funktionen. Zeigen Sie, dass
(b) die Funktion h : R → R mit h(x) = max{f(x), g(x)} stetig ist,
(c) die Funktion h : R → R mit h(x) = min{f(x), g(x)} stetig ist

Answer 1

(a) Man kann durch die Fallunterscheidung zeigen, dass für \( x,y \in \mathbb{R}\) gilt $$max(x,y)=\frac{1}{2}(x+y+|x-y|)$$Da \( a_n,b_n\) nun konvergieren, konvergiert die Folge
$$c_n=\frac{1}{2}(a_n+b_n+|a_n-b_n|)$$ Ihr Grenzwert kann man leicht ausrechnen.

(b) Wir argumentieren mittel Folgenstetigkeit. Sei \( x_n\) Folge in \(\mathbb{R}\) mit \( x_n \to x\). Die Folge
$$h(x_n)=max(f(x_n),g(x_n))=\frac{1}{2}(f(x_n)+g(x_n)+|f(x_n)-g(x_n)|)$$ ist konvergent, da f und g folgenstetig sind.  Der Grenzwert  ist h(x).

(c) Analog, mit $$min(x,y)=\frac{1}{2}(x+y-|x-y|)$$

Es ist auch möglich b) und c) mit "epsilon-delta-Definition" zu zeigen, ist aber etwa aufwendiger.

Comments

Ich danke dir ! Werde mir gleich Gedanken darüber machen :)