0 Daumen
988 Aufrufe

Aufgabe:

bestimmen sie für die Funktion: xy^2/x^2+y^4


für x^2+y^4 >0

für x^2+y^4=0


1.

für x einsetzen:( -1/n)

für y= 1/2n

2.

x= 1/n

y=1 durch 2*(wurzel(n))

den Grenzwert und ob die fkt stetig ist


Problem/Ansatz: habe für 1. die folgenden lsg eingesetzt da kam raus: -1/32n^2 durch 5/16*2n = -1/32n^2*6/16*2n= (-5/512)*n^3 ist meine funktion richtig? wenn es falsch wäre es gut wenn ich die rechenschritte vergleichen kann: danke im Voraus

ich habe dann heraus gefunden dass die funktion stetig ist mit dem folgekriterium und die funktion besitzt einen Grenzwert von 5 ist das richtig? für 2. weiß ich das nicht wie es machen soll.

Avatar von

Es soll sicher heißen
f (x,y) = (x*y^2) / (x^2+y^4)

Ja genau ist ein Bruch

Oder so:  \(\displaystyle f(x{,}y)=\begin{cases}\dfrac{xy^2}{x^2+y^4}&\text{, falls }(x{,}y)\ne(0{,}0)\\0&\text{, sonst}\end{cases}\)  ?

Die Fkt ist richtig aber

Das steht  Unmittelbar neben der Funktion


Für x^2+y^4>0

Für x^+y^4=0

Das macht keinen Unterschied, denn \(x^2+y^4=0\) gilt nur für \((x{,}y)=(0{,}0)\).
Die Funktion ist aber nicht stetig, denn z.B. ist \(f\left(\frac1{n^2}{,}\frac1n\right)=\frac12\) für alle \(n\in\mathbb N\).

Okay dann habe ich’s falsch gemacht! Schade. Könntest du’s mir bitte zeigen wie du den Grenzwert und die stetigkeit berechnet hast? Danke

1 Antwort

+1 Daumen

Wähle die Nullfolgen \(x_n=\frac1{n^2}\) und \(y_n=\frac1n\). Es gilt dann$$f(x_n{,}y_n)=\frac{\frac1{n^2}\cdot\frac1{n^2}}{\frac1{n^4}+\frac1{n^4}}=\tfrac12.$$Wg.\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(x_n{,}y_n)=\tfrac12\ne0=f(0{,}0)\) liegt keine Stetigkeit in \((0{,}0)\) vor.

Avatar von

Ah danke! Für die 2 auch nach dem gleichem Schema?

Genau\(  \).

wie bist du auf 1/2 gekommen? habe es nachgerechnet und habe 1 heraus

habe jetzt auch das heraus vielen dank für deine hilfe

wäre mein yn für 1/2*wurzel aus n

das gleiche aber in der wurzel mit n^4 statt n?

warum hast du die stetigkeit nicht mit dem folgekriterium gemacht?

Mit \(x_n=\frac1n\) und \(y_n=\frac1{2\sqrt n}\) gilt \(f(x_n{,}y_n)=\dfrac{\frac1n\cdot\frac1{4n}}{\frac1{n^2}+\frac1{16n^2}}=\frac4{17}\).
Dieses Kritierium habe ich oben verwendet. Der Grenzwert stimmt nicht mit dem Funktionswert überein, d.h. unstetig.

ich glaube du hast falsch eingesetzt

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community