Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Du weißt, wie die gesuchte Matrix \(A\) auf drei bekannte Vektoren wirkt:$$A\cdot\green{\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}}=\red{\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}}\quad;\quad A\cdot\green{\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}}=\red{\begin{pmatrix}1\\1\\-3\end{pmatrix}}\quad;\quad A\cdot\green{\begin{pmatrix}1\\1\\-3\end{pmatrix}}=\red{\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}}$$
Das fassen wir in einer Matrix-Gleichung zusammen:$$A\cdot\green{\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1\\1 & -1 & 1\\-1 & 2 & -3\end{array}\right)}=\red{\left(\begin{array}{rrr}-1 & 1 & 2\\-1 & 1 & 1\\2 & -3 & -1\end{array}\right)}$$
Da die grüne Matrix invertierbar ist, gibt es genau eine solche Matrix \(A\):$$A=\red{\left(\begin{array}{rrr}-1 & 1 & 2\\-1 & 1 & 1\\2 & -3 & -1\end{array}\right)}\cdot\green{\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1\\1 & -1 & 1\\-1 & 2 & -3\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}3 & -10 & -3\\2 & -7 & -2\\-5 & 16 & 4\end{array}\right)$$
