Lösung der Differentialgleichungen bestimmen

Question

Hallo!

Aufgabe: ich soll die allgemeine Lösung folgender Differentialgleichungen bestimmen.

Mein Ansatz wäre folgender:

g)
\( \begin{array}{l} y^{\prime \prime}(x)-2 y^{\prime}(x)-3 y(x)=e^{2 x} \\ y^{\prime \prime}(x)=2 y^{\prime}(x)+3 y(x)+e^{2 x} \\ y_{1}(x)=y^{(x)} \\ y_{2}(x)=y^{\prime}(x) \\ y_{1}^{\prime}(x)=y_{2}(x) \\ y_{2}^{\prime}(x)=2 \cdot y_{2}(x)+3 y_{1}(x)+e^{2 x}=3 y_{1}(x)+2 y_{2}(x)+e^{2 x} \\ \left(\begin{array}{l} y_{4} \\ y_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} 0 \\ e^{2 x} \end{array}\right) \end{array} \)
EW:
\( \begin{aligned} \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc} -\lambda & 1 \\ 3 & 2-\lambda \end{array}\right)=-\lambda \cdot(2-\lambda)-3 &=-2 \lambda+\lambda^{2}-3 \\ &=(\lambda-1)^{2}+1-3 \end{aligned} \)
\( \Rightarrow(\lambda-1)^{2}=+2 \)
1. FaU: \( (\lambda-1) \geqslant 0 \quad \) 2.Fall: \( (\lambda-1)^{2}<0 \)
\( \begin{array}{l} \lambda-1=+2 \quad \lambda-1=2 \\ \lambda=3 \quad \lambda-1=-2 \\ \Rightarrow y=c_{1} \cdot e^{-x}+c_{2} \cdot e^{3 x} \\ \lambda=-1 \\ E V: \lambda=-1\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}\right) \leadsto\left(\begin{array}{ll|l} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \Rightarrow E V=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right) \\ \lambda=3 \quad\left(\begin{array}{cc} -3 & 1 \\ 3 & -1 \end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{cc|c} -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{rr|r} 1 & -\frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \\ \Rightarrow E r=\left(\begin{array}{r} -\frac{1}{3} \\ -1 \end{array}\right) \triangleq\left(\begin{array}{l} 1 \\ 3 \end{array}\right) \\ \end{array} \)

\( y_{h}=c_{1} \cdot e^{-x}\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right)+c_{2} \cdot e^{3 x}\left(\begin{array}{l}1 \\ 3\end{array}\right) \)
\( y h_{1}=c_{1} \cdot e^{-x}+c_{2} e^{3 x} \)
\( \psi=\left(\begin{array}{cc}e^{-x} & e^{3 x} \\ -e^{-x} & 3 e^{3 x}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}c_{1} \\ c_{2}\end{array}\right) \)
\( \operatorname{det}=3 e^{2 x}+e^{2 x}=4 e^{2 x} \)
\( c_{1}^{\prime}=\frac{\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}0 & e^{3 x} \\ e^{2 x} 3 e^{3 x}\end{array}\right)}{4 e^{2 x}}=\frac{-e^{5 x}}{4 e^{2 x}}=-\frac{1}{4} e^{3 x} \)
\( c_{1}=\int\left(-\frac{1}{4} e^{3 x}\right) d x=-\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot e^{3 x}=-\frac{1}{12} e^{3 x} \)
\( c_{2}{ }^{\prime}=\frac{\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}e^{-x} & 0 \\ -e^{-x} & e^{2 x}\end{array}\right)}{4 e^{2 x}}=\frac{e^{x}}{4 e^{2 x}}=\frac{1}{4} e^{-x} \)
\( c_{2}=\int\left(\frac{1}{4} e^{-x}\right) d x=-\frac{1}{4} e^{-x} \)
\( y_{p}=\left(\begin{array}{cc}e^{-x} & e^{3 x} \\ -e^{-x} & 3 e^{3 x}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{12} e^{3 x} \\ -\frac{1}{4} e^{-x}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{12} e^{2 x}-\frac{1}{4} e^{2 x} \\ +\frac{1}{12} e^{2 x}-\frac{3}{4} \cdot e^{2 x}\end{array}\right) \)
\( =\left(\begin{array}{l}-\frac{1}{3} e^{2 x} \\ -\frac{2}{3} \cdot e^{2 x}\end{array}\right) \)
\( y=c_{1} \cdot e^{-x}\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right)+c_{2} \cdot e^{3 x}\left(\begin{array}{l}1 \\ 3\end{array}\right)+ \)

Aber das stimmt noch nicht ganz. Habe ich hier was vergessen, denn als Lösung kommt das hier raus:

Losung: \( y(x)=y_{c}(x)+y_{p}(x)=-\frac{e^{2} x}{3}+c_{1} \cdot e^{-x}+c_{2} e^{3 x}+\frac{2 e^{2}}{9} \)

Comments

Mach doch einfach die Probe und setze die Lösung in die Dgl ein. Mir scheint die Vergleichs Lösung falsch.

Mal eine andere Frage: Sollt Ihr wirklich die gew Dgl in ein System umwandeln und dann lösen?

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Die Vergleichslösung habe ich von Wolfram Alpha. Es kann tatsächlich sein, dass die Lösung falsch ist und dass mein Ergebnis richtig ist. Wie genau soll ich die Probe machen? 1x ableiten und in die DgI einsetzen, oder?

Ja, wir sind immer so vorgegangen wie oben.

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Naja, da die Dgl die Ordnung 2 hat, wirst Du wohl einmal und noch einmal ableiten müssen.

Kritisch ist doch nur der letzte Summand in der Lösung von Wolfram Alpha

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Was kommt eigentlich bei dir heraus? Lassen sich die Summanden wegkürzen bzw. passt die Probe?

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Diese elementare Rechenaufgabe musst Du schon selbst erledigen. Wenn es nicht klappt, dann poste hier, was nicht klappt.

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Ja, aber wie soll ich genau die Probe machen?? Soll ich die partikuläre Lösung 2 x ableiten? Ich checks nicht. Ich hab eben die partikuläre Lösung 2x abgeleitet, aber das hilft mir jetzt auch nicht weiter

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Du kannst doch für die angegebene Lösung y die Ableitungen y' und y'' berechnen und daraus y''-2y'-3y bilden und schauen, was dabei herauskommt.

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Meinst du‘s so oder?

\( y=\left(\begin{array}{l}e^{-x} \\ -e^{-x}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}e^{3 x} \\ 3 e^{3 x}\end{array}\right) \)
\( y^{\prime}=\left(\begin{array}{c}-e^{-x} \\ e^{-x}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3 e^{3 x} \\ 9 e^{3 x}\end{array}\right) \)
\( y^{\prime \prime}=\left(\begin{array}{c}e^{-x} \\ -e^{-x}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}9 e^{3 x} \\ 27 e^{3 x}\end{array}\right) \)
\( y^{\prime \prime}(x)-2 y^{\prime}(x)-3 y(x)-e^{2 x} \)
\( \left(\begin{array}{l}e^{-x} \\ -e^{-x}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}9 e^{3 x} \\ 27 e^{3 x}\end{array}\right)-2 \cdot\left(\begin{array}{c}-e^{-x} \\ e^{-x}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}3 e^{3 x} \\ 9 e^{3 x}\end{array}\right) \)
\( -3 \cdot\left(\begin{array}{c}e^{-x} \\ -e^{-x}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}e^{3 x} \\ 3 e^{3 x}\end{array}\right)= \)

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Du musst mal versuchen zu verstehen, worum es geht und was Ihr macht. Du rechnest blindlings drauf los.

Die ursprüngliche Gleichung ist doch

$$y''(x)-2y'(x)-3y(x)=\exp(2x)$$

Der Ansatz mit dem System für \((y_1,y_2)\) ist "nur" Lösungstechnik.

Am Ende behauptet Wolfram-Alpha - sagst Du, dass die Lösung gegen ist durch

$$y(x)=-\frac{1}{3}\exp(2x)+c_1\exp(-x)+c_2\exp(3x)+\frac{2e^2}{9}$$

$$y'(x)=-\frac{2}{3}\exp(2x)-c_1\exp(-x)+3c_2\exp(-3x)$$

$$y''(x)=-\frac{4}{3}\exp(2x)+c_1\exp(-x)+9c_2\exp(-3x)$$

Damit

$$y''(x)-2y'(x)-3y(x)=\exp(2x)-\frac{6e^2}{9}$$

Also ist der letzte Summand falsch.

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Achsooo, du meintest das so, alles klar.

Dann stimmt ja meine Lösung und die von Wolfram Alpha ist dann falsch?

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So siehts aus

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Super, vielen vielen Dank! Ich war schon die ganze Zeit am verzweifeln.

Aber warum hat der Exponent bei \( \frac{6e^2}{9} \) kein x? Muss es nicht \( \frac{6e^{2x}}{9} \) sein?

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Du hast doch geschrieben, dass der letzte Term in der angegebenen Lösung so ist, wie ich ihn geschrieben habe, also eine Konstante?

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Ja, genau, das passt. Ich glaube, ich verwechsle da was.

Ich könnte ja jetzt auch noch meine Lösung ableiten und die Probe machen als Übung.