Welches Mischungsverhältnis ergibt sich im Grenzwert? (Apfelsaft)

Question

Hallo zusammen,

beim Rechnen von ein paar Aufgaben bin ich auf dieses „Sachproblem“ (wenn man das so nennen kann) gestoßen.

Von einem Liter Apfelsaft gießt man 1/4 Liter weg und ersetzt den weggegossenen Teil durch Wasser. Von der Michung gießt man wiederum 1/4 weg und ersetzt den weggegossenen Teil durch Apfelsaft. Dieser aus zwei Teilschritten bestehende Prozess wird beliebig oft wiederholt. Wir betrachten jeweils das Mischungsverhältnis nach dem zweiten Teilschritt.
Welches Mischungsverhältnis ergibt sich im Grenzwert? Existiert der Grenzwert? Was passiert, wenn man 1/4 durch ein q ∈ (0, 1) ersetzt?

Ich hab leider nicht so die Ahnung bei der Aufgabe.

Kann mir jemand helfen?

Grüße und danke!:)

Comments

Von einem Liter Apfelsaft gießt man 14 Liter weg.

Wenn man jetzt wieder 13 Liter Apfelsaft hinzugießt, dann ist das Gefäß mit dem Apfelsaft leer.

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Das soll 1/4 heißen nicht 14

Answer 1

Die Gleichung die das Modelliert sieht wie folgt aus

$$\left( \begin{pmatrix} a\\w \end{pmatrix} \cdot \frac{3}{4} + \begin{pmatrix} 0\\1/4 \end{pmatrix} \right) \cdot \frac{3}{4} + \begin{pmatrix} 1/4\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\\w \end{pmatrix}$$

Diese Gleichung ist also nach a und w aufzulösen. Ich erhalte a = 4/7 und w = 3/7

Es stellt sich also ein Gleichgewicht ein bei einem Apfelsaftanteil von 4/7 ein. Das wären dann 0.5714 l Apfelsaft.