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Die Zufallsvariable X X besitze die Verteilungsfunktion F F .

Zeigen Sie, dass der Erwartungswert E[X] \mathbb{E}[X] von X X existiert genau dann, wenn

(0,)1F(x)dx< und (,0)F(x)dx<.\int \limits_{(0, \infty)} 1-F(x) \mathrm{d} x<\infty \text { und } \int \limits_{(-\infty, 0)} F(x) \mathrm{d} x<\infty .

In diesem Fall gilt:

E[X]=(0,)1F(x)dx(,0)F(x)dx\mathbb{E}[X]=\int \limits_{(0, \infty)} 1-F(x) \mathrm{d} x-\int \limits_{(-\infty, 0)} F(x) \mathrm{d} x

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