Die Zufallsvariable \( X \) besitze die Verteilungsfunktion \( F \).
Zeigen Sie, dass der Erwartungswert \( \mathbb{E}[X] \) von \( X \) existiert genau dann, wenn
\(\int \limits_{(0, \infty)} 1-F(x) \mathrm{d} x<\infty \text { und } \int \limits_{(-\infty, 0)} F(x) \mathrm{d} x<\infty .\)
In diesem Fall gilt:
\(\mathbb{E}[X]=\int \limits_{(0, \infty)} 1-F(x) \mathrm{d} x-\int \limits_{(-\infty, 0)} F(x) \mathrm{d} x\)
