Wie zeige ich, dass der Erwartungswert existiert wenn folgendes gilt?

Question

Die Zufallsvariable $X$ besitze die Verteilungsfunktion $F$.

Zeigen Sie, dass der Erwartungswert $\mathbb{E}[X]$ von $X$ existiert genau dann, wenn

$\int \limits_{(0, \infty)} 1-F(x) \mathrm{d} x<\infty \text { und } \int \limits_{(-\infty, 0)} F(x) \mathrm{d} x<\infty .$

In diesem Fall gilt:

$\mathbb{E}[X]=\int \limits_{(0, \infty)} 1-F(x) \mathrm{d} x-\int \limits_{(-\infty, 0)} F(x) \mathrm{d} x$