Kubikzahlen aus Blöcken ungerader Zahlen erstellen

Question

Aufgabe:

Kubikzahlen aus Blöcken ungerader Zahlen erstellen

Problem/Ansatz:

Aus den aufeinanderfolgenden Blöcken von einer, zwei, drei, vier, fünf, usw. … ungeraden natürlichen Zahlen lassen sich durch Addition Kubikzahlen erzeugen.

Zahlenfolge: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 ...

Kubikzahlen z.B.

1=1 ; 3+5=8=2^3 ; 7+9+11=27=3^3 ; 13+15+17+19=64=4^3 ; 21+23+25+27+29=125=5^3 ; ...

Ich habe versucht, dafür jeweils eine Summenformel zu finden, was bisher gescheitert ist. Man müsste immer erst bis zum Anfangswert hochzählen (z.B. 13 ) und dann die entsprechende Anzahl ungeraden Zahlen addieren.

Gibt es dafür eventuell schon eine fertige Lösung?

Leider habe ich in den üblichen Nachschlagewerken nichts gefunden.

Vielleicht ist das Problem aber auch zu einfach und ich sehe das zu kompliziert?

Answer 1

Hallo,

Vielleicht ist das Problem aber auch zu einfach und ich sehe das zu kompliziert?

so ganz einfach vielleicht nicht, aber einfach genug um drauf zu kommen:$$b^3 = \sum\limits_{k=\frac{b}{2}(b-1)}^{\frac{1}{2}(b-1)(b+2)}(2k+1)$$Tipp: es sind \(b\) Summanden und der 'Mittlere' ist \(b^2\).

Comments

Danke!

Das ist wirklich eine tolle Idee, die Start- und Endwerten der Laufvariable entsprechend zu verändern. Ich habe mich immer mit der eigentlichen Funktion, also Varianten von (2k+1) für ungerade Zahlen, abgemüht.

Frage: Ich verstehe den Tipp am Schluß nicht: was bedeutet der 'Mittlere' Summand? Wenn ich beispielsweise 4 Summanden hätte, welcher ist dann der 'Mittlere' ?

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Ich verstehe den Tipp am Schluß nicht: was bedeutet der 'Mittlere' Summand? Wenn ich beispielsweise 4 Summanden hätte, welcher ist dann der 'Mittlere' ?

Ich habe nicht ohne Grund den 'Mittleren' in Hochkomma gesetzt. Die Mitte liegt bei 4 Summanden zwischen dem 2. und 3. Element. Also bei \(b=4\) wäre dies$$\{ 13,\,15,\space {\color{blue}\left(4^2\right)}\space 17,\, 18\}$$und damit kann man, wenn die Summe \(\sum(2k+1)\) ist, auf den 'mittleren' Index \(k_{\text{Mitte}}\) schließen$$2k_{\text{Mitte}}+1 = b^2 \implies k_{\text{Mitte}} = \frac12(b^2 -1)$$und das Intervall zwischen dem ersten und letzten Element im Block hat die Länge \((b-1)\), weil es bei \(b\) Elementen nur \(b-1\) Zwsichenräume sind.

D.h. wenn ich vom mittleren Index \(k_{\text{Mitte}}\) die Hälfte von \((b-1)\) abziehe, komme ich zum Startindex \(k_0(b)\) in Abhängigkeit von \(b\)$$k_{0}(b) = k_{\text{Mitte}} -\frac{1}{2}( b -1) = \frac12(b^2 -1) -\frac{1}{2}( b -1) \\ \phantom{k_{0}(b)}= \frac{b}{2}(b-1)$$Und für den Ende-Index nur noch \((b-1)\) addieren und fertig.

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Anstatt "mittlerer Summand" (welcher nur bei einer ungeraden Anzahl von Summanden wirklich passt) könnte man einfach korrekt schreiben: "der arithmetische Mittelwert der Summanden".

Answer 2

Hallo

der Anfang für n^3 ist bei n*(n-1)+1 dann die folgenden n ug Zahlen

Gruß lul

Comments

Die Antwort verstehe ich leider nicht.

Wie kann man herausfinden, dass man z.B. bei 5^3 mit der Zahl 21 anfangen und die nächsten 4 ungeraden Zahlen addieren muss?

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Hallo

5^3 deshalb fängz die Rehe bei 5*4+1=21 an und summiert die n#hsten 5 ungeraden Zahlen

8^3  fängt mit 8*7+1 an die n#chsten 8 ug Zahlen addiert.

Gruß lul

Answer 3

n³=(n²- n+1)+ ... +(n²+n -1)