Welche Art von Relation trifft zu? Die Relation R ⊂ Z × Z ist definiert durch (a, b) ∈ R ⇔ (a = b = 0) oder ab > 0.

Question

Schönen guten Abend Liebe Mitmenschen,

Aktuell thematisieren wir in der Vorlesung die Relationen und ihre Funktionen. Da mir das Thema aber noch etwas fremd ist, habe ich aktuell noch einige Komplikationen dieses zu verstehen. Ich würde mich um einen Ansatz zum Lösen folgender Aufgabe sehr erfreuen damit ich mir das Verstehen mit eurer Hilfe erleichtern kann.

Aufgabe:

Die Relation R ⊂ Z × Z ist definiert durch (a, b) ∈ R ⇔ (a = b = 0) oder ab > 0.

1. Untersuchen Sie R auf Symmetrie, Reflexivität und Transitivität.
2. Geben Sie die Äquivalenzklassen von  R an.

Woher kann ich wissen ob eines der oben genannten Relationen dieser Aussage zutreffen ?

Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Hallo 4our6, am besten kann man meines Erachtens Relationen verstehen, wenn man ihre Elemente zeichnet. Hier habe ich ein Bild angefangen, in dem ich einige Elemente der Relation R als Kreuze eingezeichnet habe. Findest du weitere Elemente von R? Dann zeichne sie bitte ein. Dann helfe ich dir weiter.

Comments

Also ich nehmen mal an, wenn die Aussage wahr sein sollte, dann müsste die Relation ja symmetrisch sein. Ich bin mir zwar nicht ganz sicher, aber das wäre auf jeden Fall meine Begründung für die Einzeichnung der Punkte.

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Hallo 4our6, vielen Dank für deine Mithilfe. Aber leider falsch. Wenn a = -1 und b = 1, dein Kreuz links oben, dann gilt *nicht*
(a = b = 0) oder ab > 0
Also darf dort kein Kreuz stehen. Auf diese Weise musst du alle Punkte durchprüfen.
Prüfe mal die Bedingung
(a = b = 0) oder ab > 0
an den Punkten
a = -1  b = 1
a = -1  b = 2
a = -2  b = 1

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Hmm, 2 Tage ohne Antwort. Hast du noch Interesse an dieser Aufgabe?

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Tut mir Leid für die verzögerte Antwort ich musste mich noch um eine anderen Abgabe kümmern, daher bin ich vorerst ihren Kommentar nur überflogen.

Wenn die Bedingung a = b = 0 gilt, dann kann im Koordinatensystem ja an keiner anderen Stelle außer bei 0|0 eine wahre Aussage gelten? Oder ich liege komplett daneben mit meiner Antwort und haben noch einige Verständnisprobleme.

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Die Bedingung heißt: ... oder a * b > 0.

Was ist, wenn a = -1 und b = -1 ?

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Ah ich bin nicht davon ausgegangen, dass ich gleichzeitig auch nach der zweiten Bedingung schauen muss, da es ja "oder" und nicht "und" heißt.

Warum darf dann aber dort oben links kein Kreuz stehen obwohl (-1)*(-1) = 1, somit größer als 0 ist und die entsprechende Bedingung dann erfüllt ?

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Dein orangenes Kreuz oben links steht an der Stelle a = -1 und b = 1. Somit ist a * b negativ. Also ist das Kreuz falsch.

Prüfe mal, wo noch Kreuze stehen können.

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Heißt also, damit die Bedingung erfüllt werden kann, dass a und b beide entweder 0 oder beide positiv oder beide negativ sein müssen. Richtig?

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Fast richtig! Der Punkt (0/0) bekommt auch noch ein Kreuz. Die Koordinatenachsen heißen in dieser Aufgabe a, b und nicht x, y.

Jetzt kannst du R auf Symmetrie untersuchen. Ob man also a und b vertauschen kann. Ob also der "Graph" symmetrisch zur ersten Winkelhalbierenden ist.

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Vielen Dank für den hilfreichen Ansatz! Um alles also nochmal zusammen zu fassen:

- Die Bedingung ist nicht reflexiv, da wie oben bewiesen nicht jedes Element in Relation zu sich selbst steht und somit nicht alle in der Menge enthalten sind.

- Die Bedingung ist aber symmetrisch, da wenn das Pärchen a*b in der Menge R enthalten ist, ebenso das umgekehrte Pärchen b*a weiterhin auch dem ersten entspricht (so wie oben im der Abbildung dargestellt / bewiesen).

- Über die Transitivität muss ich mir noch Gedanken machen, ob diese wahr oder falsch ist.

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Die Relation ist symmetrisch, das stimmt.

Reflexiv: Stimmt die Bedingung

(a = b = 0) oder ab > 0

für a = b?

Stimmt also für jedes a die Bedingung

(a = a = 0) oder a*a > 0   ?

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Jetzt wenn ich darüber überlege... erfüllt das ebenfalls die Bedingung. Denn wenn a=0 ist, so stimmt dann auch a=a=0 und wenn a für 1*1=1 steht, so kommt bei a für -1*-1 ebenso =1 raus. Also muss die Relation auch reflexiv sein

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Das ist richtig. Jetzt ist als nächstes transitiv gefragt.

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Um die Transitivität zu prüfen muss man eine weitere Variable einfügen, in diesem Fall benutze ich einfach c. Die Relation gilt dann, wenn die ersten beiden Bedingungen a*b und b*c erfüllt sind sodass dann dadurch die Bedingung a*c erfolgen kann.

Annahme:

a b c

1 *1 *1 = 1 -->  >0

-1*1*1 = -1 -->  <0

-1*-1*1= 1 -->  >0

-1*-1*-1= -1 → <0

Daraus kann man also folgendes herausschließen:

Damit die Relation nun wahr sein kann müssen entweder alle Variablen positiv oder genau 2 von 3 negativ sein, damit die Bedingung erfüllt werden kann. Alles andere führt zu einem Gegenspruch der Bedingung und wären dann somit falsch.

Ist das richtig so?

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Dies hier stimmt nicht:

Um die Transitivität zu prüfen muss man eine weitere Variable einfügen, in diesem Fall benutze ich einfach c. Die Relation gilt dann, wenn die ersten beiden Bedingungen a*b und b*c erfüllt sind sodass dann dadurch die Bedingung a*c erfolgen kann.

Richtig hingegen ist:

Die Relation ist dann transitiv, wenn aus
a * b > 0
und
b * c > 0
folgt:
a * c > 0.
(Die Bedingung a = b = 0 habe ich mal der Einfachheit halber weggelassen.)

Ist die Relation transitiv?

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Wenn a*b und b*c 1*1 oder -1*-1 sind, dann kann die Bedingung a*c erfolgen. Dadurch wäre die Relation dann transitiv. Ausnahme: wenn eines der Variablen negativ und die andere positiv ist, denn daraus schließt sich immer eine negative Zahl heraus, welche die Bedingung >0 nicht unterstützt.

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Die Relation ist transitiv. Aus
a * b > 0
und
b * c > 0
folgt:
a * c > 0.
Begründung:
Wenn a b > 0, dann ist entweder a>0 und b>0 oder a<0 oder b<0.
Wenn b c > 0, dann ist entweder b>0 und c>0 oder b<0 oder c<0.
Also ist entweder a>0 und b>0 und c>0 oder a<0 und b<0 und c<0.
Also ist a c > 0.

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Jetzt kannst du Teilaufgabe 2 erledigen.

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Vielen Dank erstmal für die Hilfe! Nun habe ich verstanden wie man eine Relation auf ihre Eigenschaften untersucht.

Durch die vorherigen Berechnungen und dem Beweisen kann man nun also festlegen, dass die Äquivalenzklassen von R alle Paare von Elementen in Z sind, die entweder beide Null sind oder deren Produkt größer als Null ist.

Stimmt das so?

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Dann gäbe es ja unendlich viele Äquivalenzklassen. Das stimmt aber nicht. Wie ist denn eine Äquivalenzklasse definiert?

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Die Äquivalenzklassen von R sind diejenigen Mengen von Elementen aus Z, die miteinander über die Relation R verbunden sind.

Meine Behauptung:

a=b=0 ist eine eigene Äquivalenzklasse, da es nur die Menge {0} als Lösung gibt.

Für ab>0 ist meine Überlegung, dass für die Menge hierbei alle positiven und (beide) negativen Zahlen gelten, aber halt nicht z.B.{(-1,1),(1,-1),(-2,2),(2,-2), usw...}

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Die Äquivalenzklassen von R sind diejenigen Mengen von Elementen aus Z, die miteinander über die Relation R verbunden sind. -->  Stimmt.

{0} ist eine eigene Äquivalenzklasse, stimmt auch.

Jetzt schauen wir uns die Äquivalenzklasse an, die die 1 enthält. Welche Elemente sind noch in dieser Klasse? Das heißt: Welche Elemente sind über die Relation mit der 1 verbunden?

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Hmm diese könnte zwei Äquivalenzklassen haben. Entweder a und b > 0 oder

a und b < 0

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Kannst du ein Element nennen, das über die Relation R mit der 1 verbunden ist?

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Ein Element was sich mit 1 verbindet wäre auch eine 1 oder ?

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Ja. Aber auch die 2. Denn 1 * 2 > 0. Kannst du weitere Zahlen nennen, die mit der 1 verbunden sind?

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Achso ja dann sind alle Zahlen, die größer als 0 sind, mit der 1 verbunden. Also dann wäre die Menge plus unendlich für 1

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Die Äquivalenzklasse, in der die 1 ist, heißt {1, 2, 3, 4, ...}.

Gibt es eine weitere Äquivalenzklasse?

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Es gäbe eine weitere Äquivalenzklasse für z.B. -1. diese Menge wäre dann {-1, -2, -3, -4, ...}

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Genau! Wieviele Äquivalenzklassen gibt es insgesamt?

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Insgesamt gibt es damit dann drei Äquivalenzklassen

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Super! Damit wäre die Aufgabe gelöst! Hat mich gefreut, dass du mitgemacht hast.

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Ich danke auch für Ihre Hilfe! Danke, dass Sie mir das Thema näher gebracht haben. Mein Prof hätte das niemals so erklären können. Liegt aber vielleicht auch daran, dass wir so ein großer Kurs sind.

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Bitte! Mit einen Bildchen versteht man eine Relation gleich besser, finde ich.

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Danke für "Beste Antwort"!