Abbildung von Polynomen in Vektorräumen

Question

Aufgabe:

1. Zeigen Sie, dass die Auswertungsabbildung E: K[t]_≤3 → K² gegeben durch p(t) ↦ E(p(t)) := \( \begin{pmatrix} p(0)\\p(1) \end{pmatrix} \) eine lineare Abbildung ist.
2. Geben Sie ein Element des Kerns Ker(E) an, das nicht das 0-Polynom ist.
3. Finden Sie Polynome f₁, f₂ ∈ K[x]_≤2 mit

E(f₁) = \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \) , E(f₂) = \( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \)

4. Bestimmen Sie die Dimension des Kerns von E und geben Sie eine
Basis von Ker(E) an.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe die beiden Teilaufgaben (1 und 3) nicht so wirklich auch leider nicht mit Hilfe des Skriptes :(

Könnte mir jemand einen schönen Lösungsweg für die Aufgabe geben.

Ich danke für jede Hilfe

Answer 1

Wegen der Definition von "linearer Abbildung" sind 2 Elemente miteinander zu vergleichen.

$$(1) \quad E(\lambda p+\mu q)=\begin{pmatrix} \lambda p(0)+\mu q(0)\\\lambda p(1)+\mu q(1) \end{pmatrix} \quad \lambda,\mu \in K, \; p,q \in K[t]_{ \leq 3}$$

$$(2) \quad\lambda E(p)+\mu E(q)=\lambda \begin{pmatrix} p(0)\\p(1)\end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix}  q(0) \\q(1) \end{pmatrix}  $$

(korrigiert) Und, sind beide gleich?

Was verstehst Du bei 3) nicht? Gesucht ist ein Polynom f mit f(0)=1 und f(1)=0. Ein einfaches solches Polynom wäre

$$f(x)=1-x$$

Comments

Hi,

danke dir erstmal. Ich hätte noch eine Frage bezüglich der Nr. 1, die Nr. 3 war doch sehr einfach, hatte die Aufgabe wohl nicht so verinnerlicht. So nun also meine Frage:

Und, sind beide gleich?

Ich würde sagen ja, doch bin ich mir aufgrund deiner Rechnung nicht mehr so sicher da du aussagst das:

\((2) \quad\lambda E(p)+\mu E(q)=\lambda \begin{pmatrix} p(0)\\q(0) \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix}  p(1)\\q(1) \end{pmatrix}  \)

aber sollte es nicht so aussehen? oder versteh ich das doch nicht so gut:

\((2) \quad\lambda E(p)+\mu E(q)=\lambda \begin{pmatrix} p(0)\\p(1) \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix}  q(0)\\q(1) \end{pmatrix}  \)

in dem Falle wäre es ja das selber wie:

\((1) \quad E(\lambda p+\mu q)=\begin{pmatrix} \lambda p(0)+\mu q(0)\\\lambda p(1)+\mu q(1) \end{pmatrix} \)

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Ja, da muss ich mich für meinen Schreibfehler entschuldigen, korrigiere es gleich

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Macht nix, ich hätte jetzt noch eine kleine Frage :D

nämlich Frage ich mich ob die dim(Bild Abbildung) immer größer Null sein muss oder gibt es auch dim(Bild Abbildung) die gleich Null wären.

Ich frage aufgrund der Nr. 4, da Soll ich ja die Dim. des Kerns bestimmen. Da ich weiß das von K[t]_≤2 → K2 abgebildet wird. Und man in Aufgabe 2 ja von einer Kern ausgeht muss die dim(Kern der Abbildung) ja mindestents 1 sein.

So dachte ich wäre mein Lösungsweg für die Nr. 4 folgender:

Formel: dim(Kern E) + dim(Bild E) = Dim(p(t))

Da dim(p(t)) höchstens 2 wäre und die dim(Bild E) ≠ 0 ist. Muss die dim(Kern E) = 1 sein.

stimmt das so?

PS: ich hab mich leider oben verschrieben da muss K[t]_≤2 → K2 hin.

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Wir habe also jetzt \(E:K[t]_{\leq 2} \to K^2\) mit \(\dim(K[t]_{\leq 2})=3\); denn ein Polynom vom Höchstgrad 2 hat bis zu 3 Koeffizienten. Demnach ist

$$\dim(Kern(E))+\dim(Bild(E)=3$$

In Aufgabe 3 haben wir gesehen, dass das Bild(E) die Vektoren (1,0) und (0,1) enthält, also Dimension 2 hat. Daher hat der Kern die Dimension 1.

Das kannst Du bestätigen, indem Du den Kern bestimmst, also alle Polynome vom Höchstgrad 2 findest mit p(0)=p(1)=0.

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Ah super sieht/klingt total schlüssig. Danke dir.

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Und wie finde ich eine Basis vom Kern(E) ?

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Das habe ich 2 Sätze zuvor erklärt.

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Sorry, das stimmt natürlich. Habe aber glaube ich ein Brett vor dem Kopf :-D
Also setze ich p(0)=p(1) und da soll am ende 0 rauskommen?

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Du setzt ein Polynom vom Grad 2 an und bestimmst die Koeffizienten so, dass p(0)=0 und p(1)=0. Es handelt sich also um die gute alte Steckbriefaufgabe aus der Schule - außer vielleicht dass hier p nicht eindeutig bestimmt ist.