Schnittwinkel zwischen den Ebenen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Schnittwinkel zwischen den Ebenen \( \mathrm{E}_{1} \) und \( \mathrm{E}_{2} \)

\( E_{1}:\quad \vec{r}(\lambda ; \mu)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)+\lambda \cdot\left(\begin{array}{c}-3 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)+\mu \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \\\\ E_{2}:\quad \left(\begin{array}{c}5 \\ -9 \\ -12\end{array}\right) \cdot\left(\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\right)=0 \)

Problem/Ansatz:

Guten Morgen, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung. Vielen Dank im Voraus für die Hilfe. Liebe Grüße Sevi

Comments

siehe hier:

https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/schnittwinkel-zweier-ebenen

Answer 1

Man kann auch den Winkel zwischen den Normalenvektoren ausrechnen.

Comments

Normalenvektor von E₁:

\(\begin{aligned} \overrightarrow{n_1} &= \begin{pmatrix} -3\\0\\-1 \end{pmatrix}  \times \begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix} \\\\ &=  \begin{pmatrix} \begin{alignedat}{2} 0 \cdot 0&-(-1) &&\cdot 1\\(-1) \cdot 2&-(-3) &&\cdot 0\\(- 3)\cdot 1&-0 &&\cdot 2 \end{alignedat} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\\-2\\-3 \end{pmatrix} \end{aligned}\)

Winkel zwischen den beiden Normalenvektoren:

\(\begin{aligned} \varphi &= \arccos\left(\frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|}\right)\\\\&=\arccos\left( \frac{1 \cdot 5 +(-2) \cdot (-9) +(-3) \cdot (-12)}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}\cdot \sqrt{5^2+9^2+12^2}}\right)\\\\&\approx 4^\circ\end{aligned}\)