Zeigen Sie, dass wenn f und g injektiv sind, auch g ◦f injektiv ist.

Question

Aufgabe:

(b) Seien f: A → B und g: B → C Funktionen. Zeigen Sie, dass wenn f und g injektiv sind, auch g ◦ f injektiv ist.

(c) Seien f: A → B und g: B → C Funktionen. Wahr oder Falsch: Wenn g ◦ f injektiv ist, dann sind auch f und g injektiv. Begründen Sie Ihre Antwort

Problem/Ansatz:

danke

Comments

Was bedeutet f1 ?

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Also ganz normal f ohne (1)

Answer 1

Zeigen Sie, dass wenn f und g injektiv sind, auch g ◦f injektiv ist.

Seien f und g injektiv.  Und u,v ∈ A mit

                                     (g o f) (u) = (g o f ) (v)

              ==>    g(f(u)) = g(f(v) und weil g injektiv

             ==>           f(u) = f(v)   und weil f injektiv

                ==>   u = v .   q.e.d.

c)    Gegenbeispiel:


\(A = [0,1]\), \(B = [-1,1] \), \(C=[0,1] \)


\(   f(x) = x  ,   g(x) = x^2    ,   h(x) = g(f(x)) = x^2   \) 


Aufgrund der Wahl der Mengen \(A,B\) und \(C\) ist h = gof zwar injektiv,

aber \(g\) ist es nicht.

Answer 2

(b) Seien \(f,g\) injektiv. Seien \(a_1,a_2\in A\) mit \((g\circ f)(a_1) = (g\circ f)(a_2)\).

Begründe warum \(f(a_1) = f(a_2)\) ist.

Verwende \(f(a_1) = f(a_2)\) um zu begründen warum \(a_1 = a_2\) ist.

(c) \(f(x) = \sqrt{x}\), \(g(x) = x^2\).

Finde geeignete \(A\), \(B\) und \(C\), so dass \(g\circ f\) injektiv ist, aber eine der Funktionen \(f\), \(g\) nicht injektiv ist.