Berechnen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gegeben sind die beiden Ebenen
\( \begin{array}{l} E_{1}:\left(\vec{x}-\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 4 \end{array}\right)\right) \cdot\left(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ -2 \end{array}\right)=0 . \\ E_{2}:\left(\vec{x}-\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 4 \end{array}\right)\right) \cdot\left(\begin{array}{c} -5 \\ -4 \\ -2 \end{array}\right)=0 . \end{array} \)
Berechnen Sie die Schnittgerade.

Problem/Ansatz:

Ich habe erstmal die Normalformen in die Koordinatenform umgewandelt, also E1: 4x+5y-2z=-5 und E2: -5x-4y-2z=-14.

Dann glaube ich muss man die gleichsetzen, ich habe das nur mit einem Minus gemacht weil dann das Z wegfällt. Jetzt allerdings stehe ich auf dem Schlauch.

Ich komme leider nicht mehr weiter. Bitte so ausführlich erklären danke :)

Comments

Also du kannst sowohl in der Koordinatenform als auch Parameterform machen, am besten beides, wenn du es mal ausprobieren willst!:)

Richtig du musst die gleichsetzen, allerdings müssen diese auch dafür erstmal „gleich“ sein, E1 = -5 und E2 = -14

Heißt noch sind sie nicht gleich

Du könntest jetzt die komplette E1 um 2,8 multiplizieren, dann wäre nämlich E1= -14 und

4x mal 2,8 + 5y mal 2,8 + 2z mal 2,8

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Wenn du beide Gleichungen in die Koordinatenform umformst, entgeht dir, dass beide Ebenen einen gemeinsamen Punkt haben. Das ist fahrlässiges Wegwerfen einer sehr interessanten Information, oder nicht?

Answer 1

Offensichtlich ist (2 | -1 | 4) ein Punkt beider Ebenen. Daher kannst du diesen als Ortsvektor der Schnittgeraden benutzen.

Verwende dann noch das Kreuzprodukt der beiden Normalenvektoren um den Richtungsvektor der Schnittgeraden zu bekommen.

[4, 5, -2] ⨯ [-5, -4, -2] = [-18, 18, 9] = -9·[2, -2, -1]

Die Schnittgerade lautet daher

X = [2, -1, 4] + r·[2, -2, -1]

Comments

Ortsvektor der Schnittgeraden

Das ist wohl keine gute Bezeichnung für den Ortsvektor des Aufpunkts (Stützvektor) einer Geraden.

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Schade das du nicht weißt das ein Stützvektor ein besonderer Ortsvektor ist. Nämlich eine Art Krücke die ein Objekt stützt. In diesem Fall eine Gerade.

Als Ortsvektor (auch Radiusvektor, Positionsvektor oder Stützvektor) eines Punktes bezeichnet man in der Mathematik und in der Physik einen Vektor, der von einem festen Bezugspunkt zu diesem Punkt (Ort) zeigt.

(c) https://de.wikipedia.org/wiki/Ortsvektor

Schau auch gerne nochmals unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Geradengleichung#Parameterform

vorbei.

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in deinem letzten Link ist ausdrücklich von einem

 'Ortsvektor des Punktes einer Geraden' die Rede , nicht von einer Gerade.

Deine Bezeichnungsweise erscheint mir - zumindest in der Schule - extrem unüblich!

Das meinte ich mit 'keine gute Bezeichnung'

Schade das du nicht weißt ...

Ich weiß dein Mitgefühl  einzuschätzen: Mein Dank wird dir ewig nacheilen, dich aber nie mehr erreichen :-)

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Daher erwähnte ich noch den Link

https://de.wikipedia.org/wiki/Geradengleichung#Parameterform

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Daher erwähnte ich noch den Link ...

eigentlich bestätigt das doch nur meinen o.g. Einwand