Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Schau dir die Ebene \(H\) mal ganz genau an, indem du sie zusammenfasst:$$H\colon\vec p=\begin{pmatrix}1+k\cdot0+\ell\cdot0\\1+k\cdot1+\ell\cdot0\\-1+k\cdot0+\ell\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1+k\\-1+2\ell\end{pmatrix}$$
die x-Koordinate \(p_x\) ist stets \(1\). Die y-Koordinate \(p_y\) kann jeden beliebigen Wert annehmen, weil du ja \(k\) völlig frei wählen kannst. Ebenso kann die z-Koordinate \(p_z\) jeden beliebigen Wert annehmen, weil du ja \(\ell\) völlig frei wählen kannst. Die Ebene \(H\) wird daher durch eine sehr übersichtliche Koordinatengleichung beschrieben:$$H\colon x=1$$
Die Schnittgerade von \(E\) und \(H\) enthält daher alle Punkte der Ebene \(E\), deren x-Wert ebenfalls gleich \(1\) ist:$$\underbrace{\begin{pmatrix}1\\\text{egal}\\\text{egal}\end{pmatrix}}_{\text{Punkte der Ebene \(H\)}}\stackrel!=\underbrace{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\2\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}_{\text{Punkte der Ebene \(E\)}}$$
Du brauchst also gar kein Gleichungssystem zu lösen, da es für die y- und z-Koordinate überhaupt keine Bedingung gibt. Es reicht, die Gleichung für die x-Koordinate umzustellen:$$1=2+4r+s\implies s=-1-4r$$Das setzen wir in die Ebenengleichung von \(E\) ein und erhalten die Schnittgerade \(g\):$$g\colon\vec p=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}4\\0\\2\end{pmatrix}+(\green{-1}\red{-4r})\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$$$$g\colon\vec p=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\green{-\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}+r\begin{pmatrix}4\\0\\2\end{pmatrix}\red{-r\begin{pmatrix}4\\4\\0\end{pmatrix}}$$$$g\colon\vec p=\begin{pmatrix}2\green{-1}\\0\green{-1}\\1\green{-0}\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}4\red{-4}\\0\red{-4}\\2\red{-0}\end{pmatrix}$$$$g\colon\vec p=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\-4\\2\end{pmatrix}$$
