Untervektorräume zeigen und U+W

Question

Im \( \mathbb{R} \)-Vektorraum \( V=\mathbb{R}^{\mathbb{R}} \) definieren wir die Teilmengen
\( U:=\{f \in V: f(-x)=f(x) \) für alle \( x \in \mathbb{R}\} \) und \( W:=\{f \in V: f(-x)=-f(x) \) für alle \( x \in \mathbb{R} \)
i) Zeigen Sie, dass \( U \) und \( W \) Untervektorräume von \( V \) sind.
ii) Zeigen Sie \( U \oplus W=V \). (Hinweis: Betrachten Sie \( g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2} \).)

Comments

Ihr habt doch sicher in der Vorlesung ein "Unterraum-Kriterium" besprochen. Wie lautet es? Wie lässt es sich hier anwenden?

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Eine Teilmenge \( U \) des Vektorraums \( V \) ist genau dann ein Untervektorraum, wenn die folgenden drei Eigenschaften erfüllt sind:
- \( 0_{V} \in U \).
- Für alle \( v, u \in U \) gilt \( v+u \in U \).
- Für alle \( u \in U \) und für alle \( \lambda \in K \) gilt \( \lambda \cdot u \in U \).
Diese Äquivalenz nennt man das
Untervektorraumkriterium.