Ermitteln Sie den Grenzwert der Reihe: ∑ (-1)^k 4/3^k . k von 3 bis unendlich

Question

Aufgabe:

Ermitteln Sie den Grenzwert der Reihe:

\( \sum \limits_{3}^{\infty}(-1)^{k} \frac{4}{3^{k}} \)

∑ (-1)^k 4/3^k

Wie kommt man bei dieser Reihe auf das Ergebnis von -1/9?

Answer 1

$$\sum_{k=3}^\infty (-1)^k\frac{4}{3^k}=4\sum_{k=3}^\infty (-3)^{-k}=4\sum_{k=0}^\infty (-3)^{-3}\cdot (-3)^{-k}=\frac{-4}{27} \cdot \frac{1}{1-(1/-3)}=\frac{-4}{27} \cdot \frac{3}{4}=-\frac{1}{9}$$ Der Summationsindex gehört zur Summe dazu und darf nicht weggelassen werden. $$\sum_{3}^\infty$$ ist unzureichend da nicht klar ist, was summiert wird.