Welche der angegebenen Folgen konvergieren? Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

Question 1

Aufgabe:

(b) $ b_{n}=\frac{n^{2}-5^{n}}{3^{n}+5^{n}} $
(c) $ c_{n}=(-1)^{n} \frac{n+1}{2 n^{2}-1} $

Problem/Ansatz:

Wie zeige ich die Konvergenz von diesen Folgen?

Question 2

Aloha :)

$$b_n=\frac{n^2-5^n}{3^n+5^n}=\frac{\frac{n^2}{5^n}-1}{\frac{3^n}{5^n}+1}=\frac{\frac{n^2}{5^n}-1}{\left(\frac35\right)^n+1}\to\frac{0-1}{0+1}=-1$$

$$c_n=(-1)^n\frac{n+1}{2n^2-1}=(-1)^n\frac{\frac1n+\frac{1}{n^2}}{2-\frac{1}{n^2}}\to\pm\frac{0+0}{2-0}=0$$

Question 3

Hallo, danke für die Antwort, aber ich dachte ein (-1)^n ist ein Zeichen dafür, dass die Folge wahrscheinlich divergiert.

Question 4

Ja, aber der Betrag geht ja gegen $0$. Die Werte springen im positivem und negativem Bereich hin und her, aber die Einhüllende geht gegen $0$.

Question 5

Hallo

a) Zähler und Nenner durch 5^n teil, dann geht vieles gegen 0 und der Rest bleibt.

b) Z und N durch n teilen, dann solltest du den GW sehen

Gruß lul

Question 6

Aber b) divergiert doch oder?

Question 7

Hallo

nein es konvergiert gegen -1 denn n^2/5^n gegen 0 und (3/5)^n gegen 0

Gruß lul

Question 8

Tut mir leid ich meinte c) divergiert

Question 9

hat doch Tschaka vorgerechnet? (-1)^n*0=0

lul

Tschakabumba · Answer 1 · 2022-12-05T22:51:26+0000

Aloha :)

$$b_n=\frac{n^2-5^n}{3^n+5^n}=\frac{\frac{n^2}{5^n}-1}{\frac{3^n}{5^n}+1}=\frac{\frac{n^2}{5^n}-1}{\left(\frac35\right)^n+1}\to\frac{0-1}{0+1}=-1$$

$$c_n=(-1)^n\frac{n+1}{2n^2-1}=(-1)^n\frac{\frac1n+\frac{1}{n^2}}{2-\frac{1}{n^2}}\to\pm\frac{0+0}{2-0}=0$$

Hallo, danke für die Antwort, aber ich dachte ein (-1)^n ist ein Zeichen dafür, dass die Folge wahrscheinlich divergiert. — Kurt B., 5 Dez 2022
Ja, aber der Betrag geht ja gegen $0$. Die Werte springen im positivem und negativem Bereich hin und her, aber die Einhüllende geht gegen $0$. — Tschakabumba, 5 Dez 2022

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