Aloha :)
Für eine Basis des Bildes rechne die linearen Abhängigkeiten aus den Spalten raus:$$\begin{array}{rrrr}& -S_1 &-2S_1 & -S_1\\\hline1 & 1 & 2 & 1\\3 & 1 & 4 & 4\\4 & -4 & 0 & 8\end{array}\to\begin{array}{rrrr}-3S_4 &+2S_4 & +2S_4 &\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\3 & -2 & -2 & 1\\4 & -8 & -8 & 4\end{array}\to\begin{array}{rrrr} \vec b_1 & & &\vec b_2\\\hline\pink1 & 0 & 0 & \pink0\\\pink0 & 0 & 0 & \pink1\\\pink{-8} & 0 & 0 & \pink4\end{array}$$Die beiden übrig gebliebenen Vektoren bilden eine Basis des Bildes.
Für eine Basis des Kerns rechne die linearen Abhängigkeiten aus den Zeilen raus:$$\begin{array}{rrrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & = &\text{Aktion}\\\hline1 & 1 & 2 & 1 & 0 &\\3 & 1 & 4 & 4 & 0 &-3Z_1\\4 & -4 & 0 & 8 & 0 &-4Z_1\\\hline1 & 1 & 2 & 1 & 0 &-Z_2\\0 & -2 & -2 & 1 & 0 &\\0 & -8 & -8 & 4 & 0 &-4Z_2\\\hline\pink1 & 3 & 4 & \pink0 & 0 &\Rightarrow \pink{x_1}=-3x_2-4x_3\\\pink0 & -2 & -2 & \pink1 & 0 &\Rightarrow\pink{x_4}=\phantom-2x_2+2x_3\\\pink0 & 0 & 0 & \pink0 & 0 &\end{array}$$
Hier steht die Basis leider nicht direkt da wie das oben beim Bild der Fall war.
Wir haben 2 Spalten generiert, die lauter Nullen und genau eine Eins enthalten. Daraus haben wir Koordinatengleichungen bestimmt, mit denen wir nun alle Vektoren des Kerns aufschreiben können:$$\begin{pmatrix}\pink{x_1}\\x_2\\x_3\\\pink{x_4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3x_2-4x_3\\x_2\\x_3\\2x_2+2x_3\end{pmatrix}=x_2\underbrace{\begin{pmatrix}-3\\1\\0\\2\end{pmatrix}}_{\vec k_1}+x_3\underbrace{\begin{pmatrix}-4\\0\\1\\2\end{pmatrix}}_{=\vec k_2}$$Wir haben nun 2 linear unabhängige Vektoren gefunden, aus denen wir alle Vektoren des Kerns linear kombinieren können. Sie bilden eine Basis des Kerns.
