Aloha :)
Die Spiegelungsebene schreibe ich mal in Koordinatenform hin:$$E\colon x+y+z=1$$
Die Ortsvektoren \((1|0|0)\) und \((0|1|0)\) liegen offensichtlich in dieser Ebene. Sie bleiben bei einer Spiegelung an dieser Ebene daher ungeändert. Der Ortsvektor \((1|1|1)\) entspricht dem Normalenvektor der Ebene und geht bei einer Spiegelung an der Ebene in den Vektor \((-1|-1|-1)\) über. Wir wissen daher, wie die Abbildungsmatrix \(A\) für die Spiegelung auf drei Argumente wirkt:$$A\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\blue{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\quad;\quad A\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\green{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\quad;\quad A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\-1\end{pmatrix}$$
Da die Abbildung \(A\) linear ist, gilt:$$A\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=A\left(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\right)=A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}-A\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}-A\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$$$\phantom{A\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\red{\begin{pmatrix}-2\\-2\\-1\end{pmatrix}}$$
Damit haben wir alle Bilder der Basisvektoren gesammelt und können sie in die Transformationsmatrix \(A\) für die Spiegelung eintragen:$$A=\begin{pmatrix}\blue1 & \green0 & \red{-2}\\\blue0 & \green1 & \red{-2}\\\blue0 & \green0 & \red{-1}\end{pmatrix}$$
Nach dieser Spiegelung soll der Ergebnisvektor um den Faktor \(\lambda=3\) skaliert werden, aber eine Verschiebung findet nicht statt, d.h. \(\vec b=0\). Das führt uns zu folgender Darstellung der Abbildung \(S\):$$S(\vec v)=3\cdot\begin{pmatrix}1 & 0 & -2\\0 & 1 & -2\\0 & 0 & -1\end{pmatrix}\cdot\vec v+\vec 0$$
