Hallo Paulino,
mache Dir bei solchen Aufgaben immer zuerst eine Skizze
Das Schiff wird im Abstand von 1/2Stunde an zwei Positionen \(P\) und \(Q\) geortet. Die beiden Position liegen um$$Q-P =\begin{pmatrix} 8\\7\\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -4\\12\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12\\-5 \\0 \end{pmatrix}\\ e = |Q-P| = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = 13$$13km auseinander. Also bewegt sich das Schiff mit einer Geschwindigkeit von 26km/h.
Für die Berechnung des Punkts \(S\) stellt man beiden Geradengleichungen auf $$g_1: \quad \vec x = P + t_1(Q-P) = \begin{pmatrix} -4\\12\\0 \end{pmatrix} + t_1\begin{pmatrix} 12\\-5 \\0 \end{pmatrix}\\ g_2: \quad \vec x = A + t_2 \vec a = \begin{pmatrix} 10,25\\-4,5\\0 \end{pmatrix} + t_2\begin{pmatrix} 3,75\\9 \\0\end{pmatrix}$$und berechnet den Schnittpunkt$$12t_1 - 3,75t_2 = 10,25 - (-4)=14,25 \\ -5t_1 -9t_2 = -4,5 - 12 = -16,5 \\ \implies t_1 = 1,5 \quad t_2 = 1 $$Das Einsetzen in einer der beiden Geradengleichungen liefert den Punkt \(S\) (s. Bild)
Wenn beide Richtungsvektoren senkrecht auf einander stehen, muss ihr Skalarprodukt =0 sein und für das Schnellboot ist dies der kürzeste Weg zum treibenden Schiff.
Das treibende Schiff erreicht den Punkt \(S\) (zusammen mit dem Schnellboot!) in der 1,5-fachen Zeit (wg. \(t_1=1,5\)), in der es von Punkt \(P\) nach \(Q\) treibt - also in 45min.
Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.
Gruß Werner
