Wann treffen sich die Schiffe?

Question

Aufgabe:

Ein manövrierunfähiges Schiff treibt vor der Küste auf gerader Bahn \( g_{1} \) und sendet SOS - Signale. Bezüglich eines Koordinatensystems, dessen Ursprung in der Küstenstation liegt, wird dort das Schiff im Punkt P(-4/12/0) und eine halbe Stunde später im Punkt Q \( 8 / 7 / 0) \) geortet. Zur Rettung der Besatzung startet im Punkt

\( \mathrm{A}(10,25 /-4,5 / 0) \) ein Schnellboot SB mit dem Kurs \( \vec{a}=\left(\begin{array}{c}3,75 \\ 9 \\ 0\end{array}\right) \) auf der geraden Bahn \( \mathrm{g}_{2} \).
Koordinateneinheit: \( 1 \mathrm{~km} \)
a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Schiffes.
\( 25 / 3 \)
b) Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes S, inldem das Schnellboot das Schiff \( 1,5 / 3 \) erreicht!
Weisen Sie nach, dass durch den angegebenen Kurs die kürzeste Verbindung zum \( \quad \) o 1 Schiff hergestellt wird!
c) Wie lange dauert es, bis das Schnellboot nach der ersten Ortung des Schiffes das
012
Schiff erreicht?

Problem/Ansatz:

Hey Leute, Ich rechne grad alte Kursarbeiten nach und stoße hier auf das Ende meines Könnens. Ich verstehe nicht wie ich eine geeignete Geradengleichung für das Schnellboot aufstelle und diese dann mit der des Schiffes gleichsetze. Für was löse ich dann nämlich auf ? Aber auch der Ansatz bei der c) macht mir Schwierigkeiten, den versteh ich gar nicht. Ich wäre euch sehr dankbar für schnelle Hilfe, es wäre morgen leider schon so weit. Vielen Dank schonmal.

Comments

Willst Du das wissen was im Titel steht, oder das was in der Aufgabe steht?

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Aufgabe a) verstehe ich, der Titel ist dummerweise falsch formuliert. Ich möchte das wissen was in der Aufgabe steht, die Koordinaten des Punktes S.

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Also nicht was in der Aufgabe steht und nicht was im Titel steht, sondern b).

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@ Bearbeiter döschwo :
Was soll der Unterschied zwischen "Schiff \( 1,5 / 3 \)" , " o 1 Schiff" und "012 Schiff" ?

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Ja b und c

Das eine ist das Boot und das andere das Schiff . Durch das fehlende Bild hat die Texterkennung die Markierungen für die Punktzahlen mit gezählt.

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Mein Kommentar war an dös gerichtet und zu lesen als "Wenn schon Bearbeitung, dann bitte so, dass die Lesbarkeit hinterher nicht schlechter ist als vorher".

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@Gast hj2166

Vielen Dank für deine hilfreiche Kritik. Es wäre eine echte Bereicherung für dieses Forum, wenn du das Moderatorenteam ergänzt (und z.B. selbst mangelhaft lesbare Beiträge überarbeitest, so dass sie auch deinen Qualitätsansprüchen genügen).

Wäre das etwas für dich?

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Meine Lieben, bei allem Eifer, ich wäre doch sehr dankbar wenn ihr erst versucht mir zu helfen. Dieser Streit ist ein bisschen unnötig.

Answer 1

Hallo

von dem SB hast du doch den Anfangspunkt und den Richtungsvektor, oder wenn du den Richtungsvektor zum Anfangspunkt addierst einen zweiten Punkt .

die Gerade mi g1 schneiden, ob das Schiff dann gerade auf dem Punkt ist ist nicht gefragt.

zur Zeit? es ist nicht gesagt, wann das SB losfährt, nach der ersten Ortung vergeht ja 30 Min zur zweiten, wird danach der das SB losgeschickt? auf jeden Fall braucht es um S zu erreichen die Zeit t=v/s wobei S der Abstand vom Anfangspunkt  zu S ist.  Aber v des SB seh ich nicht es sei denn der Vektor A gibt die Geschwindigkeit in km/h?

Gruß lul

Comments

es ist nicht gesagt, wann das SB losfährt

Wahrscheinlich deshalb nicht, um die Schüler nicht durch unnötige Informationen zu verwirren.

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Ok ich denk auch es jetzt verstanden zu haben. Für die B wird ja nicht nach der Zeit gefragt da war ich zu sehr bei den Bewegungsaufgaben da werden ja einfach zwei Geraden mit richtungsvektoren gleichgesetzt und ein Schnittpunkt errechnet.

Zu C)

Verstehe ich richtig dass ich dann eine gerade mit Geschwindigkeitsvektor aufstellen muss für Schiff und Boot. Vorausgesetzt das Boot braucht eine halbe Stunde von A bis S oder ? Dann kann ich ja nen Geschwindigkeitsvektor aufstellen und die Aufgabe wie eine bewegungsaufgabe lösen ?

Answer 2

Hallo Paulino,

mache Dir bei solchen Aufgaben immer zuerst eine Skizze

https://www.desmos.com/calculator/shcub1seq7

Das Schiff wird im Abstand von 1/2Stunde an zwei Positionen \(P\) und \(Q\) geortet. Die beiden Position liegen um$$Q-P =\begin{pmatrix} 8\\7\\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -4\\12\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12\\-5 \\0 \end{pmatrix}\\ e = |Q-P| = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = 13$$13km auseinander. Also bewegt sich das Schiff mit einer Geschwindigkeit von 26km/h.

Für die Berechnung des Punkts \(S\) stellt man beiden Geradengleichungen auf $$g_1: \quad \vec x = P + t_1(Q-P) = \begin{pmatrix} -4\\12\\0 \end{pmatrix} + t_1\begin{pmatrix} 12\\-5 \\0 \end{pmatrix}\\ g_2: \quad \vec x = A + t_2 \vec a = \begin{pmatrix} 10,25\\-4,5\\0 \end{pmatrix} + t_2\begin{pmatrix} 3,75\\9 \\0\end{pmatrix}$$und berechnet den Schnittpunkt$$12t_1 - 3,75t_2 = 10,25 - (-4)=14,25 \\ -5t_1 -9t_2 = -4,5 - 12 = -16,5 \\ \implies t_1 = 1,5 \quad t_2 = 1 $$Das Einsetzen in einer der beiden Geradengleichungen liefert den Punkt \(S\) (s. Bild)

Wenn beide Richtungsvektoren senkrecht auf einander stehen, muss ihr Skalarprodukt =0 sein und für das Schnellboot ist dies der kürzeste Weg zum treibenden Schiff.

Das treibende Schiff erreicht den Punkt \(S\) (zusammen mit dem Schnellboot!) in der 1,5-fachen Zeit (wg. \(t_1=1,5\)), in der es von Punkt \(P\) nach \(Q\) treibt - also in 45min.

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

Zusatzfrage könnte sein :
Was lässt sich über die Geschwindigkeit und die Abfahrtszeit des Schnellbootes sagen, wenn der kürzeste Weg zum Treffpunkt S auch gleichzeitig der schnellste ist ?

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Wenn beide Richtungsvektoren senkrecht auf einander stehen, muss ihr Skalarprodukt =0 sein und für das Schnellboot ist dies der kürzeste Weg zum treibenden Schiff.

Ist das dann mathematisch die Erklärung für die Nebenaufgabe ? Aber woher weiß ich dass sie senkrecht stehen ?

Und die 45 min wären dann die Antwort für die c) oder fehlt da noch was ?

Vielen vielen Dank für diese ausführliche Antwort, das bestärkt mich.

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Ist das dann mathematisch die Erklärung für die Nebenaufgabe ?

Ja - die Frage war

Weisen Sie nach, dass durch den angegebenen Kurs die kürzeste Verbindung zum 1 Schiff hergestellt wird!

Die kürzeste Verbindung von ein Punkt \(A\) zu einer Geraden \(g_1\) ist eine Strecke, die senkrecht zu \(g_1\) steht.

Aber woher weiß ich dass sie senkrecht stehen ?

ich schrieb:

Wenn beide Richtungsvektoren senkrecht auf einander stehen, muss ihr Skalarprodukt =0 sein

also bilde das Skalarprodukt der Richtungsvektoren:$$\begin{pmatrix} 12\\-5 \\0 \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix} 3,75\\9 \\0\end{pmatrix} = 12\cdot 3,75 + (-5)\cdot 9 + 0\cdot 0 = 0$$Das Skalarprodukt der Richtungsvektoren von \(g_1\) und \(g_2\) ist \(0\). Also stehen sie senkrecht auf einander und folglich ist dies die kürzeste Strecke für das Schnellboot von Punkt \(A\) aus zu \(g_1\) zu kommen.

Und die 45 min wären dann die Antwort für die c) oder fehlt da noch was ?

Nein da fehlt nichts ;-) Der Geck ist, dass \(S\) der Treffpunkt der beiden Schiffe ist. Wenn also dort das Schiff 1 auf das Schnellboot trifft, dann trifft natürlich auch das Schnellboot auf Schiff 1. Das gilt selbst dann, wenn das Schnellboot zum Punkt \(S\) fährt und dort auf das Schiff 1 wartet bis es eintrifft.

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Alles klar ich danke dir vielmals.