Berechnen Sie mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes die Wahrscheinlichkeit P (Zahl der Tickets = 510), somit die …

Question

Aufgabe:

In einem Großraumflugzeug haben insgesamt 510  Passagiere Platz. Da Kunden manchmal ihren Flug nicht antreten, lässt die Fluggesellschaft zwecks optimaler Auslastung 519 Tickets verkaufen. Es sei bekannt, dass die Kunden ihren Flug mit Wahrscheinlichkeit p= 0.02 nicht antreten, wobei vereinfacht angenommen wird, dass die Kunden voneinander unabhängig ihre Entscheidung treffen.

Berechnen Sie mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes die Wahrscheinlichkeit P (Zahl der Tickets >= 511), somit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Passagier mehr erscheint als Plätze vorhanden sind. Eingabe bitte dimensionslos und auf 3 Kommastellen gerundet.

Problem/Ansatz:

Komm leider gar nicht weiter versteh nicht wie man hier rechnen muss :-S Das Ergebnis ist 0.227 aber wie kommt man da darauf

Comments

Du meinst wohl eher P(Zahl erscheinender Fluggäste > 510), richtig?

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Habs nun ausgebessert oben die Angabe, DANKE und ich weiß eben nicht wie man auf die 0.227 kommt?

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Du hattest >=510 statt >=511 geschrieben.

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ja habs ausgebessert :)

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Weißt du zufälligerweise, ob ihr mit oder ohne "Korrektur für Stetigkeit" rechnet? Es kommt zwar gerundet auf 3 Nachkommastellen dasselbe raus, aber ohne Korrektur ist die Rechnung etwas einfacher.

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Ich fang schonmal an eine Lösung ohne diese "Korrektur für Stetigkeit" zu schreiben. Dauert aber etwas.

Answer 1

Sei X die Zufallsgröße, die die Anzahl der erscheinenden Fluggäste beschreibt. (Du kannst gern von "erscheinenden Tickets" sprechen. :-D )
Dann ist X gemäß der Angaben in der Aufgabe binomialverteilt mit den Parametern n=519 und p=0.98.

Wir interessieren uns für $$P(511\leq X \leq 519)$$ X hat den Erwartungsswert \(\mu = np\) und die Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\).

Nun gilt die folgende Approximation. Die Zufallsgröße \(\frac{X-\mu}{\sigma}\) ist ungefähr standardnormalverteilt. Das heißt

$$P\left(\frac{511-\mu}{\sigma}\leq \frac{X-\mu}{\sigma}\leq\frac{519-\mu}{\sigma} \right) \approx P\left(\frac{511-\mu}{\sigma}\leq Z\leq\frac{519-\mu}{\sigma} \right) \approx 0.227$$

Hierbei ist Z eine standardnormalverteilte Zufallsgröße.

Du musst nur die Werte für \(\mu\) und \(\sigma\) einsetzen und mit Hilfe der Normalverteilung diese Wahrscheinlichkeit ausrechnen.

Hier hab ich mal die Zahlen eingesetzt.
Ohne Korrektur für Stetigkeit: https://www.wolframalpha.com/input?i=P%28%28519+-+519*0.98%29%2F%28sqrt%28519*0.98*0.02%29%29%3E%3DZ+%3E%3D+%28511+-+519*0.98%29%2F%28sqrt%28519*0.98*0.02%29%29%29%2C+Z%7EN%280%2C1%29

Mit Korrektur für Stetigkeit: Ich hab gerade gesehen, dass in diesem Fall ein höherer Wert rauskommt. Also rechnet ihr ohne Korrektur.

Comments

DANKE DANKE DANKE! Werd es gleich nachrechnen!