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Aufgabe:

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Der Verlauf eines Wasserstrahls aus einem Springbrunnen wird durch eine quadratische Funktion modelliert.

\( x \ldots \) horizontale Entfernung vom Austrittsort des Wasserstrahls in Metern

\( h(x) \ldots \) Höhe über dem Wasserspiegel an der Stelle \( x \) in \( m \)

\( d_{1}=1 \quad d_{2}=6 \quad \alpha=50^{\circ} \)

a) Stellen Sie unter Verwendung der angegebenen Bestimmungsstücke die Funktionsgleichung auf.

b) Berechnen Sie den nicht angegebenen Winkel.

c) Berechnen Sie die maximale Höhe des Wasserstrahls über dem Wasserspiegel.


Problem/Ansatz:

Ich verstehe die ganze Aufgabe nicht. Wäre super wenn mir jemand helfen könnte

Danke im Voraus!


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Auf dem mitgelieferten Bild erkennt man einen Brunnen von Hugo Haerdtl in Wien.

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo,

die allgemeine Form einer quadratische Funktion ist$$h(x)=ax^2+bx+c$$aus \(d_1=1\) folgt bereits \(c=d_1=1\). Bei \(d_2\) liegt eine Nullstelle der Funktion. Daraus folgt$$h(d_2=6)= a \cdot 6^2 + b \cdot 6 + 1 = 0$$Dr Winkel bei \(x=0\) ist \(50°\). Damit ist die Steigung in diesem Punkt gegeben$$h'(0) = 2a \cdot 0 + b = \tan(50°) \implies b = \tan(50°) \approx 1,19$$oben eingesetzt ergibt das für \(a\)$$\begin{aligned} 36a + 6\tan(50°) + 1 &= 0\\ 36a &= -6\tan(50°) - 1 \\ a &= -\frac{6\tan(50°) + 1}{36} \approx 0,226\end{aligned}$$Alles zusammen gesetzt$$h(x) \approx -0,226x^2 +1,19x + 1$$Der Winkel \(\beta\) ist$$\beta = - \arctan\left(h'(d_2=6)\right) \approx 56,7°$$

wenn Du noch Fragen hast, z.B. wie man den höchsten Punkt berechnet, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Avatar von 48 k

Dankeschön. Aber ich verstehe nicht ganz wie man auf dem Winkel ß kommt.

Lg

Aber ich verstehe nicht ganz wie man auf dem Winkel ß kommt.

Die Steigung einer Funktion ist identisch zum Tangens des Winkels, die die Funktion - bzw. die Tangente der Funktion - zur X-Achse einnimmt. Gefragt ist aber nach dem Scheitelwinkel des eigentliches 'Richtungswinkel'. Und da die Steigung bei \(d_2\) negativ ist, wird ersterer positiv.

Und aus$$h'(d_2) = \tan(-\beta)$$folgt dann $$\beta = -\arctan(h'(d_2))$$und \(h'(d_2)\) ist$$h'(x)= 2ax + b \\ h'(d_2=6) \approx 2\cdot (-0,226) \cdot 6 + 1,19 \approx -1,525$$

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