Wahrscheinlichkeitsrechnung - unabhängigkeit - Uni

Question

Aufgabe: Es gelte A ⊆ B. Dann folgt: A und B sind stochastisch unabhängig ⇔ P(A) = 0 oder P(B) = 1.

Problem/Ansatz: Auf den Ansatz bin ich gekommen, mich verwundert nur die Musterlösung, warum kann man sagen, dass aus P(A) (1- P(B)) = 0 gelten muss?

Text erkannt:

\( "{ }^{\prime \prime} "^{\prime \prime} \) Aus \( A \subset B \) folgt nämlich
\( \mathbf{P}(A)=\mathbf{P}(A \cap B)=\mathbf{P}(A) \mathbf{P}(B), \)
somit muss \( \mathbf{P}(A)(1-\mathbf{P}(B))=0 \) gelten, also \( P(A)=0 \) oder \( \mathbf{P}(B)=1 \).
\( " \Leftarrow^{\prime \prime} \) : In beiden Fällen gilt \( \mathbf{P}(A)=\mathbf{P}(A) \mathbf{P}(B) \), dies liefert wegen \( \mathbf{P}(A)=\mathbf{P}(A \cap B) \) bereits die stochastische Unabhängigkeit.

Answer 1

A war eine Teilmenge von B. D.h. A kann nur eintreten, wenn B eintritt. Oder umgekehrt, wenn B nicht eintritt, kann A auch nicht eintreten. Die Wahrscheinlichkeit das A und nicht B also gemeinsam eintreten ist gleich Null.

Comments

Ah, vielen Dank, stimmt ja, dass ist das Komplementärereignis.

Und was wäre wenn gelten würde: A ⊆ Ω sind unabhängig, genau denn wenn P(A) = 0 oder P(A) = 1?

Wäre es dann:

P(A∩A) = P(A) * P(A), so gilt P(A)^2 und dies ist bei P(A) = 0 oder P(A) = 1 der Fall.

Und weil A ⊆ Ω ist, wäre dann P(A) = P (A∩Ω), so gelte P(A) * (1-P(Ω)) = 0, egal was P(A) ist weil P(Ω) = 1 ist nach Axiom vom Wahrscheinlichkeitsraum.

Wäre das so richtig?