Statt Cauchy-Produkt schlage ich folgendes vor: (Beachte: Da das erste Glied der Reihe Null ist, kann der Index n bei 1 starten.)
$$\sum_{n=1}^{\infty}nx^n = x\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1} =x \left( \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\right)^{\prime} = x\left(\frac 1{1-x}\right)^{\prime} = \frac {x}{(1-x)^2}$$
Konvergenzradius R = 1 ist einfach zu ermitteln. Die Reihe ist für \(x= \pm 1\) nicht konvergent, also gilt obige Gleichheit für \(-1<x<1\).
