Funktion f konstruieren,

Question

Aufgabe:

Konstruiere eine Funktion f, die auf jedem der Intervalle [0, 1], [1, 2], [2, 3] durch ein quadratisches Polynom gegeben ist und f = 0 in R\ (0, 3), f > 0 in (0, 3), f ∈ C¹(R) erfüllt.  Diskutiere, ob die konstruierte Funktion in jedem Punkt x ∈ R zweimal differenzierbar ist.

Comments

was bedeutet \(C^1(R)\) bei \(f \in C^1(R)\)?

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Soll wohl heißen, dass f eine stetig differenzierbare reelle Funktion ist.
Hier ein Vorschlag
Zweimal differenzierbar ist die Funktion nicht, weil an den Nahtstellen ein Knick anliegt.

Answer 1

Eine mögliche Funktion, die diese Bedingungen erfüllt, ist gegeben durch:

f(x) =
a(x-1)^2+b für  x [0,1] 
(x-1)(x-2) für x [1,2] 
(x-2)(x-3) für x [2,3] 


mit a, b ∈ ℝ und a > 0.

In jedem Punkt x ∈ R(0,3) ist f = 0 und somit ist die Funktion in diesen Punkten zweimal differenzierbar. In den Punkten x = 1, x = 2 und x = 3 ist die Funktion nur einmal differenzierbar, da sie dort nicht stetig ist. In den Punkten x = 1, x = 2 und x = 3 ist die Funktion jedoch zweimal differenzierbar, da sie dort durch ein quadratisches Polynom gegeben ist und somit zweimal differenzierbar ist. Insgesamt ist die konstruierte Funktion also zweimal differenzierbar in jedem Punkt x ∈ R.

Comments

Insgesamt ist die konstruierte Funktion also zweimal differenzierbar in jedem Punkt x ∈ R.

Das wage ich stark zu bezweifeln. Deine Vorstellung von Differenzierbarkeit scheint recht abenteuerlich zu sein.