Zeigen Sie: Die Tangente an den Graphen von f im Punkt P(3/f(3)) hat die Gleichung y=k•e^3k•x+e^3k•(1-3k)

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= e^kx.

a) Zeigen Sie: Die Tangente an den Graphen von f im Punkt P(3/f(3)) hat die Gleichung y=k•e^3k•x+e^3k•(1-3k)
b) Untersuchen Sie mithilfe von Teilaufgabe a), für welche Zahl k die Tangente an den Graphen von f im Punkt P(3|f(3)) durch den Ursprung verläuft.
c) Führen Sie die Berechnungen ebenso für die Funktion g mit g(x) = e^kx+r und die Tangente an den Graphen von g im Punkt Q(3|g(3)) durch. Erläutern Sie, warum Sie für k das gleiche Ergebnis wie in Teilaufgabe b) erhalten, obwohl durch den zusätzlichen Parameter r der Graph von g gegenüber dem Graphen von f in x-Richtung verschoben wurde.

Problem/Ansatz:

Hey Leute, ich schreibe morgen eine Klausur in Mathe und da ich in den letzten Stunden krank war, verstehe ich die folgende Aufgabe nicht. Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir mit den Aufgaben helfen würdet.

Answer 1

Gegeben ist die Funktion f mit \(f(x)= e^{k*x} \) .
\(P(3/f(3))\)

\(f(3)= e^{3k} \) → \(P(3|e^{3k} )\)

\(f´(x)= e^{k*x}*k \)

 \(f´(3)= e^{3k}*k \)

a) Tangentengleichung:

Allgemein: \( \frac{y-y₁}{x-x₁}=m \)

 \( \frac{y-e^{3k}}{x-3}=e^{3k}*k \)

\(y-e^{3k}=e^{3k}*k*(x-3) \)

\(y=e^{3k}*k*(x-3)+e^{3k} \)

\(y=e^{3k}*[k*(x-3)+1]=e^{3k}*[k*x-3k+1]=e^{3k}*k*x+e^{3k}*(1-3k) \)

Comments

Dankeschön :) Könntest du mir eventuell auch bei c helfen?

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b) Untersuchen Sie mithilfe von Teilaufgabe a), für welche Zahl k die Tangente an den Graphen von f im Punkt P(3|f(3)) durch den Ursprung verläuft.

\(y=e^{3k}*k*x+e^{3k}*(1-3k) \)

Ursprung \(U(0|0)\)

\(0=e^{3k}*k*0+e^{3k}*(1-3k) \)

\(0=e^{3k}*(1-3k) \)

\(e^{3k}≠0 \)

\((1-3k)=0 \)    \(k=\frac{1}{3} \)

Tangente durch den Ursprung:

\(y=e^{3*\frac{1}{3}}*\frac{1}{3}*x+e^{3*\frac{1}{3}}*(1-3*\frac{1}{3}) \)

\(y=\frac{1}{3}*e*x \)

Answer 2

Standard-Formel:

t(x) = (x-3)*f '(3) + f(3)

Comments

Dankeschön :)